Let $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$be a finite-dimensional Lie algebra. A deformation of $\mathrm{\𝔤}$ is a smoothly varying family of Lie algebras ${\mathrm{\𝔤}}_{t }$(all of the same dimension) such that $\mathrm{\𝔤}$${}_0 \= \mathrm{\𝔤}\mathit{\.}\mathit{ }$The deformation is called trivial if the Lie algebras ${\mathrm{\𝔤}}_t$are isomorphic for all values of $t$. Deformations are calculated as a formal power series for the bracket operation in ${{\mathrm{\𝔤}}_t}_{ }$

The command Deformation will return the structure equations for the bracket operation $\left[x\, y\right]{}_{t }$using the Lie bracket $\left[x\,y\right]$ defined by the first argument Alg and the forms  $\mathrm{\Ω} \=\left[{\mathrm{\η}}_1\, {\mathrm{\η}}_2 \, {\mathrm{\η}}_3\, ..\.\right]$given by the second argument. The procedure Deformation does not verify that the forms ${\mathrm{\eta }}_1\, {\mathrm{\eta }}_2 \, {\mathrm{\eta }}_3\,$satisfy the conditions (1), (2) and (3) below so that the bracket operation $\left[x\, y\right]{}_{t }$need not satisfy the Jacobi identity.

Suppose that the forms $\mathrm{\Ω} \=\left[{\mathrm{\η}}_1\, {\mathrm{\η}}_2 \, {\mathrm{\η}}_3\, ..\.\right]$depend upon a number of parameters $a_{}\, b\, ..\. \.$With the keyword argument parameters = [a, b, ...], the procedure Deformation initializes the deformation algebra defined by $\left[x\, y\right]{}_{t }$ (using the name provided by the 4th argument) and calculates the conditions on these parameters imposed by the Jacobi identities. A sequence TF, Eq,  Soln, LD of 4 elements is returned, where TF is true if there is a set of parameter values satisfying the Jacobi identities, Eq is the set of equations arising from the Jacobi equations, Soln is the list of solutions to the Jacobi equations for the parameters  $a_{}\, b\, ..\.$and LD the Lie algebra data structures defined by these solutions.

The conditions imposed on the coefficients ${\mathrm{\eta }}_1\, {\mathrm{\eta }}_2 \, {\mathrm{\eta }}_3\, ..\.$by the Jacobi identity for the bracket $\left[\cdot \,\cdot \right]{ }_t$ are as follows.$$First, the 2-form ${\mathrm{\η}}_1$must be closed, that is,

If the Massey product $\left[{\mathrm{\η}}_1\,{\mathrm{\η}}_1\right]$ of the linear deformation ${\mathrm{\η}}_{1 }$vanishes, then the Jacobi identity holds and the linear deformation  $$$$

See D. B. Fuks Cohomology of Infinite Dimensional Lie Algebras (pages 35 - 38) for more details on deformations of Lie algebras and other applications of Lie algebra cohomology.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{StrEq}≔\left[\left[\mathrm{x4}\,\mathrm{x6}\right]=-\mathrm{x3}\,\left[\mathrm{x4}\,\mathrm{x7}\right]=-\mathrm{x1}\,\left[\mathrm{x5}\,\mathrm{x6}\right]=-\mathrm{x1}\,\left[\mathrm{x5}\,\mathrm{x7}\right]=-\mathrm{x2}\,\left[\mathrm{x6}\,\mathrm{x8}\right]=-\mathrm{x4}\,\left[\mathrm{x7}\,\mathrm{x8}\right]=-\mathrm{x5}\right]$

$\mathrm{StrEq}:=\left[\left[\mathrm{x4}\,\mathrm{x6}\right]\=-\mathrm{x3}\,\left[\mathrm{x4}\,\mathrm{x7}\right]\=-\mathrm{x1}\,\left[\mathrm{x5}\,\mathrm{x6}\right]\=-\mathrm{x1}\,\left[\mathrm{x5}\,\mathrm{x7}\right]\=-\mathrm{x2}\,\left[\mathrm{x6}\,\mathrm{x8}\right]\=-\mathrm{x4}\,\left[\mathrm{x7}\,\mathrm{x8}\right]\=-\mathrm{x5}\right]$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\mathrm{StrEq}\,\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\,\mathrm{x4}\,\mathrm{x5}\,\mathrm{x6}\,\mathrm{x7}\,\mathrm{x8}\right]\,\mathrm{alg}\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e5}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; alg}$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{w1}\,\mathrm{w2}\,\mathrm{w3}\,\mathrm{w4}\,\mathrm{w5}\,\mathrm{w6}\,\mathrm{w7}\,\mathrm{w8}\right]\,W\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; W}$

$\mathrm{\rho }≔\mathrm{Representation}\left(\mathrm{alg}\,W\,\mathrm{Adjoint}\left(\mathrm{alg}\right)\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{alg}\,\mathrm{\rho }\,\mathrm{algW}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra\; with\; coefficients:\; algW}$

$\mathrm{H2}≔\mathrm{evalDG}\left(\left[\mathrm{w2}\mathrm{\θ3}\&w\mathrm{\θ6}\,\mathrm{w2}\mathrm{\θ1}\&w\mathrm{\θ6}-2\mathrm{w1}\mathrm{\θ3}\&w\mathrm{\θ6}+\mathrm{w2}\mathrm{\θ3}\&w\mathrm{\θ7}\,\mathrm{w3}\mathrm{\θ1}\&w\mathrm{\θ6}-2\mathrm{w1}\mathrm{\θ1}\&w\mathrm{\θ7}-2\mathrm{w1}\mathrm{\θ2}\&w\mathrm{\θ6}+\mathrm{w2}\mathrm{\θ2}\&w\mathrm{\θ7}+\mathrm{w3}\mathrm{\θ3}\&w\mathrm{\θ7}\,\mathrm{w3}\mathrm{\θ1}\&w\mathrm{\θ7}+\mathrm{w3}\mathrm{\θ2}\&w\mathrm{\θ6}-2\mathrm{w1}\mathrm{\θ2}\&w\mathrm{\θ7}\,\mathrm{w3}\mathrm{\θ2}\&w\mathrm{\θ7}\,-2\mathrm{w1}\mathrm{\θ1}\&w\mathrm{\θ6}+\mathrm{w2}\mathrm{\θ1}\&w\mathrm{\θ7}+\mathrm{w2}\mathrm{\θ2}\&w\mathrm{\θ6}+\mathrm{w3}\mathrm{\θ3}\&w\mathrm{\θ6}-2\mathrm{w1}\mathrm{\θ3}\&w\mathrm{\θ7}\,\mathrm{w8}\mathrm{\θ6}\&w\mathrm{\θ7}\right]\right)$

$\mathrm{H2}:=\left[\mathrm{w2}\mathrm{\θ3}\bigwedge \mathrm{\θ6}\,\mathrm{w2}\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ6}-2\mathrm{w1}\mathrm{\θ3}\bigwedge \mathrm{\θ6}\+\mathrm{w2}\mathrm{\θ3}\bigwedge \mathrm{\θ7}\,\mathrm{w3}\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ6}-2\mathrm{w1}\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ7}-2\mathrm{w1}\mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ6}\+\mathrm{w2}\mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ7}\+\mathrm{w3}\mathrm{\θ3}\bigwedge \mathrm{\θ7}\,\mathrm{w3}\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ7}\+\mathrm{w3}\mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ6}-2\mathrm{w1}\mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ7}\,\mathrm{w3}\mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ7}\,-2\mathrm{w1}\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ6}\+\mathrm{w2}\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ7}\+\mathrm{w2}\mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ6}\+\mathrm{w3}\mathrm{\θ3}\bigwedge \mathrm{\θ6}-2\mathrm{w1}\mathrm{\θ3}\bigwedge \mathrm{\θ7}\,\mathrm{w8}\mathrm{\θ6}\bigwedge \mathrm{\θ7}\right]$

$\mathrm{ExteriorDerivative}\left(\mathrm{H2}\right)$

$\left[0\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ3}\,0\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ3}\,0\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ3}\,0\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ3}\,0\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ3}\,0\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ3}\,0\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ3}\right]$

$\mathrm{\η1}≔\mathrm{H2}\left[1\right]$

$\mathrm{\η1}:=\mathrm{w2}\mathrm{\θ3}\bigwedge \mathrm{\θ6}$

$\mathrm{LD1}≔\mathrm{Deformation}\left(\mathrm{alg}\,\left[\mathrm{\η1}\right]\,\mathrm{\kappa }\,\mathrm{algD1}\right)$

$\mathrm{LD1}:=\left[\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{\κ}\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e5}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD1}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; algD1}$

$\mathrm{Query}\left(''Jacobi''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{\η1}≔\mathrm{H2}\left[3\right]$

$\mathrm{\η1}:=\mathrm{w3}\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ6}-2\mathrm{w1}\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ7}-2\mathrm{w1}\mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ6}\+\mathrm{w2}\mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ7}\+\mathrm{w3}\mathrm{\θ3}\bigwedge \mathrm{\θ7}$

$\mathrm{LD2}≔\mathrm{Deformation}\left(\mathrm{alg}\,\left[\mathrm{\η1}\right]\,\mathrm{\kappa }\,\mathrm{algD2}\right)$

$\mathrm{LD2}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{\κ}\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=2\mathrm{\κ}\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{\κ}\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{\κ}\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{\κ}\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e5}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD2}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; algD2}$

$\mathrm{Query}\left(''Jacobi''\right)$

$\mathrm{false}$

$\mathrm{\ζ2}≔\mathrm{MasseyProduct}\left(\mathrm{\η1}\,\mathrm{\η1}\right)$

$\mathrm{\ζ2}:=3\mathrm{w3}\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ6}\bigwedge \mathrm{\θ7}\+6\mathrm{w1}\mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ6}\bigwedge \mathrm{\θ7}$

$C,\mathrm{\η2}≔\mathrm{CohomologyDecomposition}\left(-\mathrm{\ζ2}\,\left[\right]\right)$

$C\,\mathrm{\η2}:=0\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ3}\,3\mathrm{w4}\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ7}\+6\mathrm{w5}\mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ7}-3\mathrm{w8}\mathrm{\θ5}\bigwedge \mathrm{\θ7}$

$\mathrm{ExteriorDerivative}\left(\mathrm{\η2}\right)\&plus\mathrm{\ζ2}$

$0\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ3}$

$\mathrm{LD22}≔\mathrm{Deformation}\left(\mathrm{alg}\,\left[\mathrm{\η1}\,\mathrm{\η2}\right]\,\mathrm{\kappa }\,\mathrm{algD22}\right)$

$\mathrm{LD22}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{\κ}\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=2\mathrm{\κ}\mathrm{e1}-3{\mathrm{\κ}}^2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{\κ}\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{\κ}\mathrm{e2}-6{\mathrm{\κ}}^2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{\κ}\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e2}\+3{\mathrm{\κ}}^2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e5}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD22}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; algD22}$

$\mathrm{Query}\left(''Jacobi''\right)$

$\mathrm{false}$

$\mathrm{\ζ3}≔\mathrm{MasseyProduct}\left(\mathrm{\η1}\,\mathrm{\η2}\right)\&plus\mathrm{MasseyProduct}\left(\mathrm{\η2}\,\mathrm{\η1}\right)$

$\mathrm{\ζ3}:=-6\mathrm{w4}\mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ6}\bigwedge \mathrm{\θ7}$

$C,\mathrm{\η3}≔\mathrm{CohomologyDecomposition}\left(-\mathrm{\ζ3}\,\left[\right]\right)$

$C\,\mathrm{\η3}:=0\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ3}\,6\mathrm{w8}\mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ7}$

$\mathrm{MasseyProduct}\left(\mathrm{\η1}\,\mathrm{\η3}\right)$

$0\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ3}$

$\mathrm{MasseyProduct}\left(\mathrm{\η2}\,\mathrm{\η2}\right)$

$0\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ3}$

$\mathrm{LD23}≔\mathrm{Deformation}\left(\mathrm{alg}\,\left[\mathrm{\η1}\,\mathrm{\η2}\,\mathrm{\η3}\right]\,\mathrm{\kappa }\,\mathrm{algD23}\right)$

$\mathrm{LD23}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{\κ}\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=2\mathrm{\κ}\mathrm{e1}-3{\mathrm{\κ}}^2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{\κ}\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{\κ}\mathrm{e2}-6{\mathrm{\κ}}^2\mathrm{e5}-6{\mathrm{\κ}}^3\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{\κ}\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e2}\+3{\mathrm{\κ}}^2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e5}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD23}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; algD23}$

$\mathrm{Query}\left(''Jacobi''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{\η1}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{a1}\mathrm{H2}\left[1\right]+\mathrm{a2}\mathrm{H2}\left[2\right]+\mathrm{a3}\mathrm{H2}\left[3\right]+\mathrm{a4}\mathrm{H2}\left[4\right]\right)$

$\mathrm{\η1}:=\left(\mathrm{a3}\mathrm{w3}\+\mathrm{a2}\mathrm{w2}\right)\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ6}-\left(-\mathrm{a4}\mathrm{w3}\+2\mathrm{a3}\mathrm{w1}\right)\mathrm{\θ1}\bigwedge \mathrm{\θ7}-\left(-\mathrm{a4}\mathrm{w3}\+2\mathrm{a3}\mathrm{w1}\right)\mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ6}\+\left(-2\mathrm{a4}\mathrm{w1}\+\mathrm{a3}\mathrm{w2}\right)\mathrm{\θ2}\bigwedge \mathrm{\θ7}\+\left(-2\mathrm{a2}\mathrm{w1}\+\mathrm{a1}\mathrm{w2}\right)\mathrm{\θ3}\bigwedge \mathrm{\θ6}\+\left(\mathrm{a3}\mathrm{w3}\+\mathrm{a2}\mathrm{w2}\right)\mathrm{\θ3}\bigwedge \mathrm{\θ7}$

$\mathrm{TF},\mathrm{JacobiEq},\mathrm{JacobiSoln},\mathrm{LD3}≔\mathrm{Deformation}\left(\mathrm{alg}\,\left[\mathrm{\η1}\right]\,\mathrm{\kappa }\,\mathrm{algD3}\,\mathrm{parameters}=\left\{\mathrm{a1}\,\mathrm{a2}\,\mathrm{a3}\,\mathrm{a4}\right\}\right)$

$\mathrm{TF}\,\mathrm{JacobiEq}\,\mathrm{JacobiSoln}\,\mathrm{LD3}:=\mathrm{true}\,\left\{0\,3{\mathrm{\κ}}^2{\mathrm{a3}}^2\,6{\mathrm{\κ}}^2{\mathrm{a3}}^2\,-3{\mathrm{\κ}}^2\mathrm{a2}\mathrm{a4}\,3{\mathrm{\κ}}^2\mathrm{a2}\mathrm{a4}\,-{\mathrm{\κ}}^2\mathrm{a1}\mathrm{a4}\+4{\mathrm{\κ}}^2\mathrm{a2}\mathrm{a3}\,8{\mathrm{\κ}}^2\mathrm{a2}\mathrm{a3}-2{\mathrm{\κ}}^2\mathrm{a1}\mathrm{a4}\right\}\,\left[\left\{\mathrm{a1}\=\mathrm{a1}\,\mathrm{a2}\=\mathrm{a2}\,\mathrm{a3}\=0\,\mathrm{a4}\=0\right\}\,\left\{\mathrm{a1}\=0\,\mathrm{a2}\=0\,\mathrm{a3}\=0\,\mathrm{a4}\=\mathrm{a4}\right\}\right]\,\left[\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{\κ}\mathrm{a2}\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{\κ}\mathrm{a2}\mathrm{e1}-\mathrm{\κ}\mathrm{a1}\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{\κ}\mathrm{a2}\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e5}\right]\,\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{\κ}\mathrm{a4}\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{\κ}\mathrm{a4}\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=2\mathrm{\κ}\mathrm{a4}\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e5}\right]\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD3}\left[1\right]\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; algD3\_1}$

$\mathrm{MultiplicationTable}\left(''LieTable''\right)$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD3}\left[2\right]\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; algD3\_2}$

$\mathrm{MultiplicationTable}\left(''LieTable''\right)$