Let $\mathrm{\𝔸}$be the algebra of real numbers, the complex numbers, the quaternions, the octonions, or one of their split versions. A Jordan matrix $J$is a square matrix with entries in $\mathrm{\𝔸}$which is Hermitian with respect to the conjugation in the algebra, that is, $J \= J^{†}\.$ More generally, if $I_{\mathrm{pq}}$is the $n \times n$diagonal matrix $I_{\mathrm{pq}}\=\left[\begin{array}{rr}{I}_p& 0\\ 0& -I_q\end{array}\right]$ and $I_{\mathrm{pq}}J \= J^{†}{I}_{\mathrm{pq} }\,$then $J$ is called a Jordan matrix with respect to $I_{\mathrm{pq}}$. The set of such matrices is always a real vector space.

The command JordanMatrix(n, alg) returns a list of matrices which form a basis for the real vector space of $n \times n$ square matrices with entries in $\mathrm{\𝔸}$. With the keyword argument signature = [p, q] a basis for the Jordan matrices with respect to $I_{\mathrm{pq}}$ is determined.

The Jordan product of 2 Jordan matrices $A$and $B$is the symmetric product $A \circ B \=1\/2\left(A\cdot B \+B\cdot A\right)$. The set of Jordan matrices with Jordan product is an algebra which is denoted by $\mathrm{\𝕁}\left(n\mathit{\,}\mathrm{\𝔸}\right)$or $\mathrm{\𝕁}\left(n\mathit{\,}\mathit{ }\mathrm{\𝔸}\,\mathit{ }{I}_{\mathrm{pq}}\right)$.

The structure equations for a general Jordan algebra can be calculated with the command AlgebraData. The structure equations for a few low dimensional Jordan algebras are also available through the command AlgebraLibraryData.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tools}\right)\:$

$\mathrm{AD}≔\mathrm{AlgebraLibraryData}\left(''Quaternions''\,Q\right)$

$\mathrm{AD}:=\left[{\mathrm{e1}}^2\=\mathrm{e1}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e2}\,{\mathrm{e2}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e4}\,{\mathrm{e3}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e2}\,{\mathrm{e4}}^2\=-\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{AD}\,'\left[e\,i\,j\,k\right]'\,'\left[\mathrm{\omega }\right]'\right)$

$\mathrm{algebra\; name:\; Q}$

$M≔\mathrm{JordanMatrices}\left(3\,Q\right)$

$C≔\left[\mathrm{seq}\left(c\Vert n\,n=1..15\right)\right]$

$C:=\left[\mathrm{c1}\,\mathrm{c2}\,\mathrm{c3}\,\mathrm{c4}\,\mathrm{c5}\,\mathrm{c6}\,\mathrm{c7}\,\mathrm{c8}\,\mathrm{c9}\,\mathrm{c10}\,\mathrm{c11}\,\mathrm{c12}\,\mathrm{c13}\,\mathrm{c14}\,\mathrm{c15}\right]$

$J≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{DGzip}\left(C\,M\,''plus''\right)\right)$

$\mathrm{Jdagger}≔{\mathrm{DGconjugate}\left(J\right)}^{\mathrm{\%T}}$

$J\&MatrixMinus\mathrm{Jdagger}$

$A≔\mathrm{evalDG}\left(M\left[8\right]+M\left[12\right]\right)$

$B≔\mathrm{evalDG}\left(M\left[7\right]+M\left[15\right]\right)$

$\mathrm{JordanProduct}\left(A\,B\right)$

$\mathrm{AD}≔\mathrm{AlgebraLibraryData}\left(''Octonions''\,\mathrm{Os}\,\mathrm{type}=''Split''\right)$

$\mathrm{AD}:=\left[{\mathrm{e1}}^2\=\mathrm{e1}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e2}\,{\mathrm{e2}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e6}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e7}\=-\mathrm{e8}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e4}\,{\mathrm{e3}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e7}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e8}\=-\mathrm{e6}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e2}\,{\mathrm{e4}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e8}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e6}\=-\mathrm{e7}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e8}\,{\mathrm{e5}}^2\=\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e8}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e2}\,{\mathrm{e6}}^2\=\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e8}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e6}\=-\mathrm{e4}\,{\mathrm{e7}}^2\=\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e7}\=-\mathrm{e2}\,{\mathrm{e8}}^2\=\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{AD}\right)$

$\mathrm{algebra\; name:\; Os}$

$M≔\mathrm{JordanMatrices}\left(2\,\mathrm{Os}\,\mathrm{signature}=\left[1\,1\right]\right)$

$C≔\left[\mathrm{seq}\left(c\Vert n\,n=1..10\right)\right]$

$C:=\left[\mathrm{c1}\,\mathrm{c2}\,\mathrm{c3}\,\mathrm{c4}\,\mathrm{c5}\,\mathrm{c6}\,\mathrm{c7}\,\mathrm{c8}\,\mathrm{c9}\,\mathrm{c10}\right]$

$J≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{DGzip}\left(C\,M\,''plus''\right)\right)$

$\mathrm{Jdagger}≔{\mathrm{DGconjugate}\left(J\right)}^{\mathrm{\%T}}$

$\mathrm{I22}≔\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[1\,0\right]\,\left[0\,-1\right]\right]\right)$

$\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{I22}·J\right)\&MatrixMinus\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{Jdagger}·\mathrm{I22}\right)$

$A≔\mathrm{evalDG}\left(M\left[8\right]+M\left[10\right]\right)$

$B≔\mathrm{evalDG}\left(M\left[1\right]+M\left[4\right]\right)$

$\mathrm{JordanProduct}\left(A\,B\right)$