This program first computes all partitions $\left[p_1\,p_2\,..\.\right]$of the integer $p$, that is, all non-decreasing sequences $p_1\,p_2\,..\.$with $p_1\+p_2\+\cdot \cdot \cdot \=p$. Then, for each partition, all possible rank $p$ symmetric tensors of the form $T_1\odot T_2\odot T_3\odot ..\.$ ,where the tensor $T_i$ is taken from the list $K$, are generated. From the totality of tensors so obtained a maximal set of linearly independent tensors (over the real numbers) is selected. Each symmetric tensor in the returned list is a Killing tensor if each of the $K_i$$$are.

The independent tensors are generated by a call to the DifferentialGeometry command DGbasis. For tensors with coefficients which are not rational functions, the DGbasis program may work faster using a Wronskian approach which requires the specification of a list of points on the manifold $M$.

This command is part of the DifferentialGeometry:-Tensor package, and so can be used in the form SymmetricProductsOfKillingTensors(...) only after executing the commands with(DifferentialGeometry), with(Tensor) in that order. It can always be used in the long form DifferentialGeometry:-Tensor:-SymmetricProductsOfKillingTensors.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\right]\,M\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$g≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{dx}\&s\mathrm{dy}\right)$

$g≔\frac{\mathrm{dx}}{2}\mathrm{dy}+\frac{\mathrm{dy}}{2}\mathrm{dx}$

$\mathrm{K1}≔\mathrm{KillingTensors}\left(g\,1\right)$

$\mathrm{K1}≔\left[-y\mathrm{dx}+x\mathrm{dy}\,\mathrm{dy}\,\mathrm{dx}\right]$

$\mathrm{S2}≔\mathrm{SymmetricProductsOfKillingTensors}\left(\left[\mathrm{K1}\right]\,2\right)$

$\mathrm{S2}≔\left[y^2\mathrm{dx}\mathrm{dx}-yx\mathrm{dx}\mathrm{dy}-yx\mathrm{dy}\mathrm{dx}+x^2\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,-\frac{y}{2}\mathrm{dx}\mathrm{dy}-\frac{y}{2}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+x\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,-y\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{x}{2}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{x}{2}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,\frac{\mathrm{dx}}{2}\mathrm{dy}+\frac{\mathrm{dy}}{2}\mathrm{dx}\,\mathrm{dx}\mathrm{dx}\right]$

$\mathrm{nops}\left(\mathrm{S2}\right)$

$6$

$\mathrm{S3}≔\mathrm{SymmetricProductsOfKillingTensors}\left(\left[\mathrm{K1}\right]\,3\right)$

$\mathrm{S3}≔\left[-y^3\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+y^{2}x\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+y^{2}x\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}-y{x}^2\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dy}+y^{2}x\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dx}-y{x}^2\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dy}-y{x}^2\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+x^3\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,\frac{y^2}{3}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{y^2}{3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}-\frac{2yx}{3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dy}+\frac{y^2}{3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dx}-\frac{2yx}{3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dy}-\frac{2yx}{3}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+x^2\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,y^2\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}-\frac{2yx}{3}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dy}-\frac{2yx}{3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{x^2}{3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dy}-\frac{2yx}{3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{x^2}{3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{x^2}{3}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\,-\frac{y}{3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dy}-\frac{y}{3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dy}-\frac{y}{3}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+x\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,-\frac{y}{3}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dy}-\frac{y}{3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{x}{3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dy}-\frac{y}{3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{x}{3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{x}{3}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\,-y\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{x}{3}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{x}{3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{x}{3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,\frac{\mathrm{dx}}{3}\mathrm{dy}\mathrm{dy}+\frac{\mathrm{dy}}{3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{\mathrm{dy}}{3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\,\frac{\mathrm{dx}}{3}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{\mathrm{dx}}{3}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{dy}}{3}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\,\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\right]$

$\mathrm{nops}\left(\mathrm{S3}\right)$

$10$

$\mathrm{map2}\left(\mathrm{CheckKillingTensor}\,g\,\mathrm{S2}\right)$

$\left[0\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\,0\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\,0\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\,0\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\,0\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\,0\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\right]$

$\mathrm{S3a}≔\mathrm{SymmetricProductsOfKillingTensors}\left(\left[\mathrm{K1}\,\left[g\right]\right]\,3\right)\:$

$\mathrm{nops}\left(\mathrm{S3}\right)$

$10$