$\mathrm{restart}\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{DynamicSystems}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{ColorTools}\right)\:$

$\mathrm{\ω\_\_2}≔\sqrt{\frac{\mathrm{k\_\_2}}{\mathrm{m\_\_2}}}\:$

$\mathrm{\ω\_\_1}≔\sqrt{\frac{\mathrm{k\_\_1}}{\mathrm{m\_\_1}}}\:$

$\mathrm{\α}≔\frac{\mathrm{\ω\_\_2}}{\mathrm{\ω\_\_1}}$

$\mathrm{\alpha }≔\frac{\sqrt{\frac{\mathrm{k\_\_2}}{\mathrm{m\_\_2}}}}{\sqrt{\frac{\mathrm{k\_\_1}}{\mathrm{m\_\_1}}}}$

$\mathrm{\α\_\_opt}≔\frac{1}{1\+\frac{\mathrm{m\_\_2}}{\mathrm{m\_\_1}}}\:$

$\mathrm{k\_\_2\_opt}≔\mathrm{solve}\left(\mathrm{\alpha }=\mathrm{\α\_\_opt}\,\mathrm{k\_\_2}\right)$

$\mathrm{k\_\_2\_opt}≔\frac{\mathrm{m\_\_1}\mathrm{k\_\_1}\mathrm{m\_\_2}}{{\left(\mathrm{m\_\_1}+\mathrm{m\_\_2}\right)}^2}$

$\mathrm{z}≔\frac{\mathrm{b\_\_2}}{2 \mathrm{m\_\_2} \mathrm{\ω\_\_2}}\:$

$\mathrm{z\_\_opt}≔\sqrt{\frac{3 \frac{\mathrm{m\_\_2}}{\mathrm{m\_\_1}}}{8 {\left(1\+\frac{\mathrm{m\_\_2}}{\mathrm{m\_\_1}}\right)}^3}}\:$

$\mathrm{b\_\_2\_opt}≔\mathrm{subs}\left(\mathrm{k\_\_2}\=\mathrm{k\_\_2\_opt}\,\mathrm{solve}\left(\mathrm{z}\=\mathrm{z\_\_opt}\,\mathrm{b\_\_2}\right)\right)$

$\mathrm{b\_\_2\_opt}≔\frac{\sqrt{6}\sqrt{\frac{\mathrm{m\_\_2}}{\mathrm{m\_\_1}{\left(1+\frac{\mathrm{m\_\_2}}{\mathrm{m\_\_1}}\right)}^3}}\sqrt{\frac{\mathrm{m\_\_1}\mathrm{k\_\_1}}{{\left(\mathrm{m\_\_1}+\mathrm{m\_\_2}\right)}^2}}\mathrm{m\_\_2}}{2}$

$\mathrm{params\_\_main}≔\mathrm{m\_\_1}\=1.764 {10}^5\,\mathrm{k\_\_1}\=3.45 {10}^7\,\mathrm{b\_\_1}\=1.531 {10}^5\:$

$\mathrm{m\_\_TMD}≔8165\:$

$\mathrm{k\_\_2\_calc}≔\mathrm{eval}\left(\mathrm{k\_\_2\_opt}\,\left[\mathrm{params\_\_main}\,\mathrm{m\_\_2}\=\mathrm{m\_\_TMD}\right]\right)\;$

$\mathrm{k\_\_2\_calc}≔1.458730861\times {10}^6$

$\mathrm{b\_\_2\_calc}≔\mathrm{evalf}\left(\mathrm{eval}\left(\mathrm{b\_\_2\_opt}\,\left[\mathrm{params\_\_main}\,\mathrm{m\_\_2}\=\mathrm{m\_\_TMD}\right]\right)\right)\;$

$\mathrm{b\_\_2\_calc}≔26869.77096$

$$\begin{gathered} \mathrm{params\_\_TMD}≔\left[\mathrm{params\_\_main}\,\mathrm{m\_\_2}\=\mathrm{m\_\_TMD}\,\mathrm{k\_\_2}\=\mathrm{k\_\_2\_calc}\,\mathrm{b\_\_2}\=\mathrm{b\_\_2\_calc}\right]\: \\ \mathrm{params\_\_noTMD}≔\left[\mathrm{params\_\_main}\,\mathrm{m\_\_2}\=0\,\mathrm{k\_\_2}\=0\,\mathrm{b\_\_2}\=0\right]\: \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{de}:=\mathrm{m\_\_2}\frac{{\ⅆ}^2}{\ⅆ{\mathrm{t}}^2}\mathrm{x\_\_2}\left(\mathrm{t}\right)\=-\mathrm{k\_\_2} \left(\mathrm{x\_\_2}\left(\mathrm{t}\right)-\mathrm{x\_\_1}\left(\mathrm{t}\right)\right)-\mathrm{b\_\_2} \left(\frac{\ⅆ}{\ⅆ\mathrm{t}}\mathrm{x\_\_2}\left(\mathrm{t}\right)-\frac{\ⅆ}{\ⅆ\mathrm{t}}\mathrm{x\_\_1}\left(\mathrm{t}\right)\right)\, \\ \mathrm{m\_\_1} \frac{{\ⅆ}^2}{\ⅆ{\mathrm{t}}^2}\mathrm{x\_\_1}\left(\mathrm{t}\right)\=-\mathrm{k\_\_1} \mathrm{x\_\_1}\left(\mathrm{t}\right)-\mathrm{b\_\_1} \frac{\ⅆ}{\ⅆ\mathrm{t}}\mathrm{x\_\_1}\left(\mathrm{t}\right)-\mathrm{k\_\_2} \left(\mathrm{x\_\_1}\left(\mathrm{t}\right)-\mathrm{x\_\_2}\left(\mathrm{t}\right)\right)-\mathrm{b\_\_2} \left(\frac{\ⅆ}{\ⅆ\mathrm{t}}\mathrm{x\_\_1}\left(\mathrm{t}\right)-\frac{\ⅆ}{\ⅆ\mathrm{t}}\mathrm{x\_\_2}\left(\mathrm{t}\right)\right)\+\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\: \end{gathered}$$$\mathrm{ic}:=\mathrm{x\_\_1}\left(0\right)\=0\,\mathrm{D}\left(\mathrm{x\_\_1}\right)\left(0\right)\=0\,\mathrm{x\_\_2}\left(0\right)\=0\,\mathrm{D}\left(\mathrm{x\_\_2}\right)\left(0\right)\=0\:$

$\mathrm{sys}:=\mathrm{DiffEquation}\left(\left[\mathrm{de}\right]\,\left[\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\right]\,\left[\mathrm{x\_\_1}\left(\mathrm{t}\right)\right]\right)\:$

$\mathrm{p1}:=\mathrm{MagnitudePlot}\left(\mathrm{sys}\,\mathrm{range}\=5..30\,\mathrm{parameters}\=\mathrm{params\_\_TMD}\,\mathrm{color}\=\mathrm{Color}\left(''RGB''\,\left[0\/255\,79\/255\,121\/255\right]\right)\,\mathrm{legend}\=''Tuned''\right)\:$

$\mathrm{p2}≔\mathrm{MagnitudePlot}\left(\mathrm{sys}\,\mathrm{range}\=5..30\,\mathrm{parameters}\=\mathrm{params\_\_noTMD}\,\mathrm{color}\=\mathrm{Color}\left(''RGB''\,\left[150\/255\,40\/255\,27\/255\right]\right)\,\mathrm{legend}\=''Not\; Tuned''\right)\:$

$\mathrm{plots}:-\mathrm{display}\left(\mathrm{p1}\,\mathrm{p2}\,\mathrm{size}\=\left[800\,400\right]\,\mathrm{thickness}\=2\,\mathrm{axesfont}\=\left[\mathrm{Calibri}\right]\,\mathrm{labelfont}\=\left[\mathrm{Calibri}\right]\,\mathrm{background}\=\mathrm{Color}\left(''RGB''\,\left[218\/255\,223\/255\,225\/255\right]\right)\,\mathrm{legendstyle}\=\left[\mathrm{font}\=\left[\mathrm{Calibri}\right]\right]\right)$

$\mathrm{f\_\_nat}≔\mathrm{eval}\left(\mathrm{\ω\_\_1}\,\left[\mathrm{params\_\_main}\right]\right)$

$\mathrm{f\_\_nat}≔13.98492872$

$\mathrm{p3}≔\mathrm{ResponsePlot}\left(\mathrm{sys}\,7500\sin \left(\mathrm{f\_\_nat}\cdot \mathrm{t}\right)\,\mathrm{parameters}\=\mathrm{params\_\_TMD}\,\mathrm{color}\=\mathrm{Color}\left(''RGB''\,\left[0\/255.\,79\/255\,121\/255\right]\right)\,\mathrm{legend}\=''Tuned''\right)\:$

$\mathrm{p4}≔\mathrm{ResponsePlot}\left(\mathrm{sys}\,7500\sin \left(\mathrm{f\_\_nat} \mathrm{t}\right)\,\mathrm{parameters}\=\mathrm{params\_\_noTMD}\,\mathrm{color}\=\mathrm{Color}\left(''RGB''\,\left[150\/255\,40\/255\,27\/255\right]\right)\,\mathrm{legend}\=''Not\; Tuned''\right)\:$

$\mathrm{plots}:- \mathrm{display}\left(\mathrm{p3}\,\mathrm{p4}\,\mathrm{axesfont}\=\left[\mathrm{Calibri}\right]\,\mathrm{thickness}\=2\,\mathrm{size}\=\left[800\,400\right]\,\mathrm{gridlines}\,\mathrm{axesfont}\=\left[\mathrm{Calibri}\right]\,\mathrm{labelfont}\=\left[\mathrm{Calibri}\right]\,\mathrm{background}\=\mathrm{Color}\left(''RGB''\,\left[218\/255\,223\/255\,225\/255\right]\right)\,\mathrm{legendstyle}\=\left[\mathrm{font}\=\left[\mathrm{Calibri}\right]\right]\right)$