The centralizer of a set of vectors $S$relative to a subalgebra $h$is the subalgebra of vectors in $h$which commute with all the vectors in $S\.$

Centralizer(S, h) calculates the centralizer of the list Sin the subalgebra $h$. If the second argument h is not specified then the centralizer of S in the entire algebra is calculated.

A list of vectors defining a basis for the centralizer of S is returned. If the centralizer of S is trivial, then an empty list is returned.

The command Centralizer is part of the DifferentialGeometry:-LieAlgebras package. It can be used in the form Centralizer(...) only after executing the commands with(DifferentialGeometry) and with(LieAlgebras), but can always be used by executing DifferentialGeometry:-LieAlgebras:-Centralizer(...).

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{L1}≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''LieAlgebra''\,\mathrm{Alg1}\,\left[5\right]\right]\,\left[\left[\left[2\,5\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,4\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,5\,2\right]\,1\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{L1}:=\left[\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L1}\right)\:$

$S≔\left[\mathrm{e3}\right]$

$S:=\left[\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{Centralizer}\left(S\right)$

$\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\right]$

$S≔\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]$

$S:=\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]$

$h≔\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]$

$h:=\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]$

$\mathrm{Centralizer}\left(S\,h\right)$

$\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e1}\right]$

$h≔\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]$

$h:=\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{Centralizer}\left(S\,h\right)$

$\left[\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{L2}≔\mathrm{AlgebraLibraryData}\left(''Octonions''\,\mathrm{Oct}\right)$

$\mathrm{L2}:=\left[{\mathrm{e1}}^2\=\mathrm{e1}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e2}\,{\mathrm{e2}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e6}\=-\mathrm{e5}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e7}\=-\mathrm{e8}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e4}\,{\mathrm{e3}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e7}\=-\mathrm{e5}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e8}\=-\mathrm{e6}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e2}\,{\mathrm{e4}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e6}\=-\mathrm{e7}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e8}\=-\mathrm{e5}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e6}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e7}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e8}\,{\mathrm{e5}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e8}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e2}\,{\mathrm{e6}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e7}\=-\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e4}\,{\mathrm{e7}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e8}\=-\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e6}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e2}\,{\mathrm{e8}}^2\=-\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L2}\right)$

$\mathrm{algebra\; name:\; Oct}$

$S≔\left[\mathrm{e3}\right]$

$S:=\left[\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{Centralizer}\left(S\right)$

$\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]$