The affine general linear group $\mathrm{AGL}\left(n\,q\right)$ is the semi-direct product of the general linear group $GL\left(n\,q\right)$ with the natural module of dimension $n$ over the field with $q$ elements.

The AffineGeneralLinearGroup command produces a permutation group isomorphic to the group $\mathrm{AGL}\left(n\,q\right)$.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{GroupTheory}\right)\:$

$G≔\mathrm{AffineGeneralLinearGroup}\left(1\,2\right)$

$G≔\mathbf{AGL}\left(1\,2\right)$

$G≔\mathrm{AGL}\left(1\,2\right)$

$G≔\mathbf{AGL}\left(1\,2\right)$

$G≔\mathrm{AGL}\left(1\,3\right)$

$G≔\mathbf{AGL}\left(1\,3\right)$

$\mathrm{AreIsomorphic}\left(G\,\mathrm{Symm}\left(3\right)\right)$

$\mathrm{true}$

$G≔\mathrm{AGL}\left(1\,4\right)$

$G≔\mathbf{AGL}\left(1\,4\right)$

$\mathrm{AreIsomorphic}\left(G\,\mathrm{Alt}\left(4\right)\right)$

$\mathrm{true}$

$G≔\mathrm{AGL}\left(1\,5\right)$

$G≔\mathbf{AGL}\left(1\,5\right)$

$\mathrm{IsFrobeniusGroup}\left(G\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{PermGroupRank}\left(G\right)$

$2$

$G≔\mathrm{AGL}\left(2\,2\right)$

$G≔\mathbf{AGL}\left(2\,2\right)$

$\mathrm{AreIsomorphic}\left(G\,\mathrm{Symm}\left(4\right)\right)$

$\mathrm{true}$

$G≔\mathrm{AGL}\left(2\,3\right)$

$G≔\mathbf{AGL}\left(2\,3\right)$

$\mathrm{Transitivity}\left(G\right)$

$2$

$\mathrm{PermGroupRank}\left(G\right)$

$2$

$S≔\mathrm{Stabilizer}\left(1\,G\right)$

$S≔⟨\left(2\,6\,5\,3\,8\,9\right)\left(4\,7\right)\,\left(2\,6\,7\right)\left(3\,8\,4\right)\,\left(2\,9\right)\left(3\,5\right)\left(6\,8\right)⟩$

$\mathrm{AreIsomorphic}\left(S\,\mathrm{GL}\left(2\,3\right)\right)$

$\mathrm{true}$

$G≔\mathrm{AGL}\left(3\,2\right)$

$G≔\mathbf{AGL}\left(3\,2\right)$

$\mathrm{IsPrimitive}\left(G\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{EARNS}\left(G\right)$

$⟨\left(1\,3\right)\left(2\,4\right)\left(5\,7\right)\left(6\,8\right)\,\left(1\,2\right)\left(3\,4\right)\left(5\,6\right)\left(7\,8\right)\,\left(1\,5\right)\left(2\,6\right)\left(3\,7\right)\left(4\,8\right)⟩$

$\mathrm{Transitivity}\left(G\right)$

$3$

$\mathrm{AreIsomorphic}\left(\mathrm{Stabilizer}\left(1\,G\right)\,\mathrm{GL}\left(3\,2\right)\right)$

$\mathrm{true}$

$G≔\mathrm{AGL}\left(3\,3\right)$

$G≔\mathbf{AGL}\left(3\,3\right)$

$\mathrm{Transitivity}\left(G\right)$

$2$

$\mathrm{PermGroupRank}\left(G\right)$

$2$

$\mathrm{GroupOrder}\left(\mathrm{Stabilizer}\left(1\,G\right)\right)=\mathrm{GroupOrder}\left(\mathrm{GL}\left(3\,3\right)\right)$

$11232=11232$

$\mathrm{EARNS}\left(G\right)$

$⟨\left(1\,19\,10\right)\left(2\,20\,11\right)\left(3\,21\,12\right)\left(4\,22\,13\right)\left(5\,23\,14\right)\left(6\,24\,15\right)\left(7\,25\,16\right)\left(8\,26\,17\right)\left(9\,27\,18\right)\,\left(1\,3\,2\right)\left(4\,6\,5\right)\left(7\,9\,8\right)\left(10\,12\,11\right)\left(13\,15\,14\right)\left(16\,18\,17\right)\left(19\,21\,20\right)\left(22\,24\,23\right)\left(25\,27\,26\right)\,\left(1\,4\,7\right)\left(2\,5\,8\right)\left(3\,6\,9\right)\left(10\,13\,16\right)\left(11\,14\,17\right)\left(12\,15\,18\right)\left(19\,22\,25\right)\left(20\,23\,26\right)\left(21\,24\,27\right)⟩$