with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras):

StrEq := [[x1, x6] = -x1, [x1, x8] = -x2, [x2, x7] = -x1, [x2, x9] = -x2, [x3, x4] = -x1, [x3, x5] = -x2, [x3, x6] = -(1/3)*x3, [x3, x9] = -(1/3)*x3, [x4, x5] = x3, [x4, x6] = -(2/3)*x4, [x4, x8] = -x5, [x4, x9] = (1/3)*x4, [x5, x6] = (1/3)*x5, [x5, x7] = -x4, [x5, x9] = -(2/3)*x5, [x6, x7] = x7, [x6, x8] = -x8, [x7, x8] = x6-x9, [x7, x9] = x7, [x8, x9] = -x8];

$\mathrm{StrEq}:=\left[\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x6}\right]\=-\mathrm{x1}\,\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x8}\right]\=-\mathrm{x2}\,\left[\mathrm{x2}\,\mathrm{x7}\right]\=-\mathrm{x1}\,\left[\mathrm{x2}\,\mathrm{x9}\right]\=-\mathrm{x2}\,\left[\mathrm{x3}\,\mathrm{x4}\right]\=-\mathrm{x1}\,\left[\mathrm{x3}\,\mathrm{x5}\right]\=-\mathrm{x2}\,\left[\mathrm{x3}\,\mathrm{x6}\right]\=-\frac{1}{3}\mathrm{x3}\,\left[\mathrm{x3}\,\mathrm{x9}\right]\=-\frac{1}{3}\mathrm{x3}\,\left[\mathrm{x4}\,\mathrm{x5}\right]\=\mathrm{x3}\,\left[\mathrm{x4}\,\mathrm{x6}\right]\=-\frac{2}{3}\mathrm{x4}\,\left[\mathrm{x4}\,\mathrm{x8}\right]\=-\mathrm{x5}\,\left[\mathrm{x4}\,\mathrm{x9}\right]\=\frac{1}{3}\mathrm{x4}\,\left[\mathrm{x5}\,\mathrm{x6}\right]\=\frac{1}{3}\mathrm{x5}\,\left[\mathrm{x5}\,\mathrm{x7}\right]\=-\mathrm{x4}\,\left[\mathrm{x5}\,\mathrm{x9}\right]\=-\frac{2}{3}\mathrm{x5}\,\left[\mathrm{x6}\,\mathrm{x7}\right]\=\mathrm{x7}\,\left[\mathrm{x6}\,\mathrm{x8}\right]\=-\mathrm{x8}\,\left[\mathrm{x7}\,\mathrm{x8}\right]\=\mathrm{x6}-\mathrm{x9}\,\left[\mathrm{x7}\,\mathrm{x9}\right]\=\mathrm{x7}\,\left[\mathrm{x8}\,\mathrm{x9}\right]\=-\mathrm{x8}\right]$

LD1 := LieAlgebraData(StrEq, [x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9], alg1, grading = [-3, -3, -2, -1, -1, 0, 0, 0, 0]);

$\mathrm{LD1}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=-\frac{1}{3}\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e9}\right]\=-\frac{1}{3}\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\frac{2}{3}\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e9}\right]\=\frac{1}{3}\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=\frac{1}{3}\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e9}\right]\=-\frac{2}{3}\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e6}-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e8}\right]$

DGsetup(LD1);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; alg1}$

LieBracket(e6, e7);

$\mathrm{e7}$

newLD1a := ChangeGradedComponent(alg1, [0 = [e6, e7]], newalg1);

$\mathrm{newLD1a}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=-\frac{1}{3}\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\frac{2}{3}\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=\frac{1}{3}\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e7}\right]$

DGsetup(newLD1a);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; newalg1}$

Tools:-DGinfo("Grading");

$\left[-3\,-3\,-2\,-1\,-1\,0\,0\right]$