Let $\mathrm{\Γ}$be a Lie algebra of vector fields on a manifold $M$ and let$$$p \in$$M\.$$$The isotropy filtration of  the  Lie algebra of vector fields $\mathrm{\Γ}$is the decreasing nested sequence of subalgebras $\cdot \cdot \subset {\mathrm{\Γ}}_p^k\subset \cdot \cdot \cdot {\mathrm{\Γ}}_p^1\subset {\mathrm{\Γ}}_p^0 \subset \mathrm{\Γ}$ defined by

 The command IsotropyFiltration(Gamma, pt) returns a list of list of vector fields, the first list gives a basis for ${\mathrm{\Gamma }}_p^0\,$the second list gives a basis for ${\mathrm{\Gamma }}_p^1$ and so on.

The command IsotropyFiltration is part of the DifferentialGeometry:-GroupActions package.  It can be used in the form IsotropyFiltration(...) only after executing the commands with(DifferentialGeometry) and with(GroupActions), but can always be used by executing DifferentialGeometry:-GroupActions:-IsotropyFiltration(...).

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{GroupActions}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Library}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\right]\,M\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$\mathrm{Gamma}≔\mathrm{Retrieve}\left(''Gonzalez-Lopez''\,1\,\left[27\,4\right]\,\mathrm{manifold}=M\right)$

$\mathrm{\Γ}:=\left[\mathrm{D\_x}\,2x\mathrm{D\_x}\+4y\mathrm{D\_y}\,x^2\mathrm{D\_x}\+4xy\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_y}\,x\mathrm{D\_y}\,x^2\mathrm{D\_y}\,x^3\mathrm{D\_y}\,x^4\mathrm{D\_y}\right]$

$\mathrm{F1}≔\mathrm{IsotropyFiltration}\left(\mathrm{Gamma}\,\left[x=0\,y=0\right]\right)$

$\mathrm{F1}≔\left[\left[2x\mathrm{D\_x}\+4y\mathrm{D\_y}\,x^2\mathrm{D\_x}\+4xy\mathrm{D\_y}\,x\mathrm{D\_y}\,x^2\mathrm{D\_y}\,x^3\mathrm{D\_y}\,x^4\mathrm{D\_y}\right]\,\left[x^2\mathrm{D\_x}\+4xy\mathrm{D\_y}\,x^2\mathrm{D\_y}\,x^3\mathrm{D\_y}\,x^4\mathrm{D\_y}\right]\,\left[x^3\mathrm{D\_y}\,x^4\mathrm{D\_y}\right]\,\left[x^4\mathrm{D\_y}\right]\,\left[\right]\right]$

$L≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\mathrm{Gamma}\,\mathrm{Alg1}\right)$

$L:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=3\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\right]\=4\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=-4\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=-2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=2\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=4\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=-4\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=-3\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=-2\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e8}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(L\right)\:$

$F≔\mathrm{IsotropyFiltration}\left(\mathrm{Gamma}\,\left[x=0\,y=0\right]\,\mathrm{output}=\left[\mathrm{Alg1}\right]\right)$

$F:=\left[\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\right]\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\right]\,\left[\mathrm{e8}\right]\,\left[\right]\right]$

$\mathrm{BracketOfSubspaces}\left(F\left[1\right]\,F\left[1\right]\right)$

$\left[2\mathrm{e3}\,-2\mathrm{e5}\,2\mathrm{e7}\,4\mathrm{e8}\,-3\mathrm{e6}\right]$

$\mathrm{BracketOfSubspaces}\left(F\left[1\right]\,F\left[2\right]\right)$

$\left[2\mathrm{e3}\,2\mathrm{e7}\,4\mathrm{e8}\,3\mathrm{e6}\right]$

$\mathrm{BracketOfSubspaces}\left(F\left[1\right]\,F\left[3\right]\right)$

$\left[2\mathrm{e7}\,4\mathrm{e8}\right]$

$\mathrm{BracketOfSubspaces}\left(F\left[1\right]\,F\left[4\right]\right)$

$\left[4\mathrm{e8}\right]$

$\mathrm{BracketOfSubspaces}\left(F\left[2\right]\,F\left[3\right]\right)$

$\left[-\mathrm{e8}\right]$

$\mathrm{BracketOfSubspaces}\left(F\left[2\right]\,F\left[4\right]\right)$

$\mathrm{Query}\left(F\,''Filtration''\right)$

$\mathrm{true}$