The Ricci scalar $S$ for a metric $g$ is the total contraction of the inverse of $g$ with the Ricci tensor $R$ of $g$. In components, $S\=g^{\mathrm{ab}}{R}_{\mathrm{ab}}\.$

This command is part of the DifferentialGeometry:-Tensor package, and so can be used in the form RicciScalar(...) only after executing the command with(DifferentialGeometry) and with(Tensor) in that order.  It can always be used in the long form DifferentialGeometry:-Tensor:-RicciScalar.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\right]\,M\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$\mathrm{g1}≔\mathrm{evalDG}\left(\frac{a^2}{{\left(k^2+x^2+y^2+z^2\right)}^2}\left(\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}+\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}+\mathrm{dz}\&t\mathrm{dz}\right)\right)$

$\mathrm{g1}:=\frac{a^2}{{\left(k^2+x^2+y^2+z^2\right)}^2}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{a^2}{{\left(k^2+x^2+y^2+z^2\right)}^2}\mathrm{dy}\mathrm{dy}+\frac{a^2}{{\left(k^2+x^2+y^2+z^2\right)}^2}\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$\mathrm{C1}≔\mathrm{Christoffel}\left(\mathrm{g1}\right)\:$

$\mathrm{R1}≔\mathrm{CurvatureTensor}\left(\mathrm{C1}\right)$

$\mathrm{R1}:=\frac{4k^2}{{\left(k^2+x^2+y^2+z^2\right)}^2}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dy}-\frac{4k^2}{{\left(k^2+x^2+y^2+z^2\right)}^2}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{4k^2}{{\left(k^2+x^2+y^2+z^2\right)}^2}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dz}-\frac{4k^2}{{\left(k^2+x^2+y^2+z^2\right)}^2}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dz}\mathrm{dx}-\frac{4k^2}{{\left(k^2+x^2+y^2+z^2\right)}^2}\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\frac{4k^2}{{\left(k^2+x^2+y^2+z^2\right)}^2}\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\frac{4k^2}{{\left(k^2+x^2+y^2+z^2\right)}^2}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dy}\mathrm{dz}-\frac{4k^2}{{\left(k^2+x^2+y^2+z^2\right)}^2}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dz}\mathrm{dy}-\frac{4k^2}{{\left(k^2+x^2+y^2+z^2\right)}^2}\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dz}+\frac{4k^2}{{\left(k^2+x^2+y^2+z^2\right)}^2}\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dx}-\frac{4k^2}{{\left(k^2+x^2+y^2+z^2\right)}^2}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dz}+\frac{4k^2}{{\left(k^2+x^2+y^2+z^2\right)}^2}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dz}\mathrm{dy}$

$\mathrm{S1}≔\mathrm{RicciScalar}\left(\mathrm{g1}\,\mathrm{R1}\right)$

$\mathrm{S1}:=\frac{24k^2}{a^2}$

$f≔\frac{a}{k^2+x^2+y^2+z^2}$

$f:=\frac{a}{k^2\+x^2\+y^2\+z^2}$

$\mathrm{FR}≔\mathrm{FrameData}\left(\left[f\mathrm{dx}\,f\mathrm{dy}\,f\mathrm{dz}\right]\,\mathrm{M1}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{FR}\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M1}$

$\mathrm{g3}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{\Θ1}\&t\mathrm{\Θ1}+\mathrm{\Θ2}\&t\mathrm{\Θ2}+\mathrm{\Θ3}\&t\mathrm{\Θ3}\right)$

$\mathrm{g3}:=\mathrm{\Θ1}\mathrm{\Θ1}+\mathrm{\Θ2}\mathrm{\Θ2}+\mathrm{\Θ3}\mathrm{\Θ3}$

$\mathrm{S3}≔\mathrm{RicciScalar}\left(\mathrm{g3}\right)$

$\mathrm{S3}:=\frac{24k^2}{a^2}$