Let P = TensorInnerProduct(g, T, S). Let $g \= g_{\mathrm{ij}} {\mathrm{dx}}^{i }{\mathrm{dx}}^j$ and $h \= h^{\mathrm{ij}} {{\partial }_i}_{}{\partial }_j$ be the inverse metric. If $T \= t^i {\partial }_i$and $S \= s^j {\partial }_j$ are vectors, then $P\= g_{\mathrm{ij}} t^i s^j$. If $T \= t_i {\mathrm{dx}}^i$and $S \= s_j {\mathrm{dx}}^j$are 1-forms, then $P\= h^{\mathrm{ij}} t_{i }{s}_j$. If$T \= t_{\mathrm{ij}}{\mathrm{dx}}^i \wedge {\mathrm{dx}}^j$and $S \= s_{\mathrm{ij}}{\mathrm{dx}}^i \wedge {\mathrm{dx}}^j$ are 2-forms, then $P\= h^{\mathrm{ik}}{h}^{\mathrm{jl}}{t}_{\mathrm{ij}}{s}_{\mathrm{kl}}$. If $T\= t_{\mathrm{jk}}^i{\partial }_i {\mathrm{dx}}^j{\mathrm{dx}}^k$ and $S \= s_{\mathrm{jk}}^i{\partial }_i{\mathrm{dx}}^j{\mathrm{dx}}^k$, then $P \= g_{\mathrm{ia}}{h}^{\mathrm{jb}}{h}^{}{{}^{\mathrm{kc}}{t}^{ i}}_{\mathrm{jk}}{s}_{\mathrm{bc}}^a$and so on.

When repeated calls are to be made to TensorInnerProduct, the keyword argument inversemetric be be used to avoid repeated computations of the metric inverse.

With the keyword argument tensorindices = [n1, n2, ... ], the contraction of indices used to construct the tensor inner product is restricted to the indices n1, n2, ... .

This command is part of the DifferentialGeometry:-Tensor package, and so can be used in the form TensorInnerProduct(...) only after executing the command with(DifferentialGeometry) and with(Tensor) in that order.  It can always be used in the long form DifferentialGeometry:-Tensor:-TensorInnerProduct.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\right]\,M\right)\:$

$g≔\mathrm{evalDG}\left(x\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}+y\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}+z\mathrm{dz}\&t\mathrm{dz}\right)$

$g:=x\mathrm{dx}\mathrm{dx}+y\mathrm{dy}\mathrm{dy}+z\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$X≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{a1}\mathrm{D\_x}+\mathrm{a2}\mathrm{D\_y}+\mathrm{a3}\mathrm{D\_z}\right)$

$X:=\mathrm{a1}\mathrm{D\_x}+\mathrm{a2}\mathrm{D\_y}+\mathrm{a3}\mathrm{D\_z}$

$Y≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{b1}\mathrm{D\_x}+\mathrm{b2}\mathrm{D\_y}+\mathrm{b3}\mathrm{D\_z}\right)$

$Y:=\mathrm{b1}\mathrm{D\_x}+\mathrm{b2}\mathrm{D\_y}+\mathrm{b3}\mathrm{D\_z}$

$\mathrm{TensorInnerProduct}\left(g\,X\,Y\right)$

$\mathrm{a1}\mathrm{b1}x\+\mathrm{a2}\mathrm{b2}y\+\mathrm{a3}\mathrm{b3}z$

$\mathrm{\alpha }≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{a1}\mathrm{dx}+\mathrm{a2}\mathrm{dy}+\mathrm{a3}\mathrm{dz}\right)$

$\mathrm{\α}:=\mathrm{a1}\mathrm{dx}+\mathrm{a2}\mathrm{dy}+\mathrm{a3}\mathrm{dz}$

$\mathrm{\beta }≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{b1}\mathrm{dx}+\mathrm{b2}\mathrm{dy}+\mathrm{b3}\mathrm{dz}\right)$

$\mathrm{\β}:=\mathrm{b1}\mathrm{dx}+\mathrm{b2}\mathrm{dy}+\mathrm{b3}\mathrm{dz}$

$\mathrm{expand}\left(\mathrm{TensorInnerProduct}\left(g\,\mathrm{\alpha }\,\mathrm{\beta }\right)\right)$

$\frac{\mathrm{a3}\mathrm{b3}}{z}\+\frac{\mathrm{a2}\mathrm{b2}}{y}\+\frac{\mathrm{a1}\mathrm{b1}}{x}$

$\mathrm{\alpha }≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{a1}\mathrm{dx}\&w\mathrm{dy}+\mathrm{a2}\mathrm{dx}\&w\mathrm{dz}+\mathrm{a3}\mathrm{dy}\&w\mathrm{dz}\right)$

$\mathrm{\α}:=\mathrm{a1}\mathrm{dx}\bigwedge \mathrm{dy}+\mathrm{a2}\mathrm{dx}\bigwedge \mathrm{dz}+\mathrm{a3}\mathrm{dy}\bigwedge \mathrm{dz}$

$\mathrm{\beta }≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{b1}\mathrm{dx}\&w\mathrm{dy}+\mathrm{b2}\mathrm{dx}\&w\mathrm{dz}+\mathrm{b3}\mathrm{dy}\&w\mathrm{dz}\right)$

$\mathrm{\β}:=\mathrm{b1}\mathrm{dx}\bigwedge \mathrm{dy}+\mathrm{b2}\mathrm{dx}\bigwedge \mathrm{dz}+\mathrm{b3}\mathrm{dy}\bigwedge \mathrm{dz}$

$\mathrm{expand}\left(\mathrm{TensorInnerProduct}\left(g\,\mathrm{\alpha }\,\mathrm{\beta }\right)\right)$

$\frac{2\mathrm{a3}\mathrm{b3}}{zy}\+\frac{2\mathrm{a2}\mathrm{b2}}{zx}\+\frac{2\mathrm{a1}\mathrm{b1}}{yx}$

$T≔\mathrm{evalDG}\left(2\left(\mathrm{dx}\&t\mathrm{D\_y}\right)\&t\mathrm{dz}+3\left(\mathrm{dx}\&t\mathrm{D\_z}\right)\&t\mathrm{dy}+8\left(\mathrm{dy}\&t\mathrm{D\_z}\right)\&t\mathrm{dx}\right)$

$T:=2\mathrm{dx}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\+3\mathrm{dx}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\+8\mathrm{dy}\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}$

$S≔\mathrm{evalDG}\left(5\left(\mathrm{dx}\&t\mathrm{D\_y}\right)\&t\mathrm{dz}+7\left(\mathrm{dx}\&t\mathrm{D\_z}\right)\&t\mathrm{dz}+3\left(\mathrm{dx}\&t\mathrm{D\_z}\right)\&t\mathrm{dx}\right)$

$S:=5\mathrm{dx}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\+3\mathrm{dx}\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\+7\mathrm{dx}\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}$

$\mathrm{TensorInnerProduct}\left(g\,T\,S\right)$

$\frac{10y}{zx}$

$\mathrm{TensorInnerProduct}\left(g\,T\,S\,\mathrm{tensorindices}=\left[1\,3\right]\right)$

$\frac{10\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_y}}{zx}\+\frac{14\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}}{zx}$

$\mathrm{TensorInnerProduct}\left(g\,T\,S\,\mathrm{tensorindices}=\left[2\,3\right]\right)$

$\frac{10y\mathrm{dx}\mathrm{dx}}{z}\+\frac{24z\mathrm{dy}\mathrm{dx}}{x}$

$g≔\mathrm{evalDG}\left(a\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}+b\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}+c\mathrm{dy}\&t\mathrm{dz}+c\mathrm{dz}\&t\mathrm{dy}\right)$

$g:=a\mathrm{dx}\mathrm{dx}\+b\mathrm{dy}\mathrm{dy}\+c\mathrm{dy}\mathrm{dz}\+c\mathrm{dz}\mathrm{dy}$

$h≔\mathrm{InverseMetric}\left(g\right)$

$h:=\frac{\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_x}}{a}\+\frac{\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}}{c}\+\frac{\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}}{c}-\frac{b\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_z}}{c^2}$

$\mathrm{\Omega }≔\left[\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\right]$

$\mathrm{\Ω}:=\left[\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\right]$

$\mathrm{TensorInnerProduct}\left(g\,\mathrm{\Omega }\,\mathrm{\Omega }\,\mathrm{inversemetric}=h\right)$