The DifferentialGeometry Tensor package supports general computations with connections on vector bundles (Connection, Example 3; CovariantDerivative, Example 3; DirectionalCovariantDerivative, Example 3; and CurvatureTensor, Example 3).  This functionality naturally provides for covariant differentiation of spinors.

The command SpinConnection($\mathbf{\σ}$) computes the connection compatible with the solder form $\mathrm{\σ}$and the epsilon spinors.

Given a solder form $\mathrm{\σ}$, let $g$ be the associated metric. There is a unique spin connection $\nabla$ such that $\nabla \mathrm{\σ}\=0$ and $\nabla \mathrm{\ε}\=0$, where $\mathrm{\ε}$ denotes either of the epsilon spinors (EpsilonSpinor). In the definition of $\nabla \mathrm{\σ}$ the tensorial argument (or index) is covariantly differentiated with respect to the Christoffel connection for $g$. It is this connection $\nabla$ which is computed by the command SpinConnection(sigma).

Note that a generic connection for the differentiation of spinors can be constructed using the Connection command.

This command is part of the DifferentialGeometry:-Tensor package, and so can be used in the form SpinConnection(...) only after executing the commands with(DifferentialGeometry); with(Tensor); in that order.  It can always be used in the long form DifferentialGeometry:-Tensor:-SpinConnection.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[t\,x\,y\,z\right]\,\left[\mathrm{z1}\,\mathrm{z2}\,\mathrm{w1}\,\mathrm{w2}\right]\,E\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; E}$

$g≔\mathrm{evalDG}\left(x^4\mathrm{dt}\&t\mathrm{dt}-\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}-\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}-\mathrm{dz}\&t\mathrm{dz}\right)$

$g≔x^4\mathrm{dt}\mathrm{dt}-\mathrm{dx}\mathrm{dx}-\mathrm{dy}\mathrm{dy}-\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$F≔\mathrm{evalDG}\left(\left[\frac{1}{x^2}\mathrm{D\_t}\,\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\right]\right)$

$F≔\left[\frac{1}{x^2}\mathrm{D\_t}\,\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\right]$

$\mathrm{\sigma }≔\mathrm{SolderForm}\left(F\right)$

$\mathrm{\sigma }≔\frac{x^2\sqrt{2}}{2}\mathrm{dt}\mathrm{D\_z1}\mathrm{D\_w1}+\frac{x^2\sqrt{2}}{2}\mathrm{dt}\mathrm{D\_z2}\mathrm{D\_w2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{dx}\mathrm{D\_z1}\mathrm{D\_w2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{dx}\mathrm{D\_z2}\mathrm{D\_w1}-\frac{\mathrm{I}}{2}\sqrt{2}\mathrm{dy}\mathrm{D\_z1}\mathrm{D\_w2}+\frac{\mathrm{I}}{2}\sqrt{2}\mathrm{dy}\mathrm{D\_z2}\mathrm{D\_w1}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{dz}\mathrm{D\_z1}\mathrm{D\_w1}-\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{dz}\mathrm{D\_z2}\mathrm{D\_w2}$

$\mathrm{\Γ2}≔\mathrm{SpinConnection}\left(\mathrm{\sigma }\right)$

$\mathrm{\Γ2}≔x\mathrm{D\_z1}\mathrm{dz2}\mathrm{dt}+x\mathrm{D\_z2}\mathrm{dz1}\mathrm{dt}+x\mathrm{D\_w1}\mathrm{dw2}\mathrm{dt}+x\mathrm{D\_w2}\mathrm{dw1}\mathrm{dt}$

$\mathrm{\phi }≔\mathrm{evalDG}\left(t^2\mathrm{D\_z1}-\frac{1}{y}\mathrm{D\_z2}\right)$

$\mathrm{\phi }≔t^2\mathrm{D\_z1}-\frac{1}{y}\mathrm{D\_z2}$

$\mathrm{CovariantDerivative}\left(\mathrm{\phi }\,\mathrm{\Γ2}\right)$

$\frac{-x+2ty}{y}\mathrm{D\_z1}\mathrm{dt}+x{t}^2\mathrm{D\_z2}\mathrm{dt}+\frac{1}{y^2}\mathrm{D\_z2}\mathrm{dy}$

$\mathrm{DirectionalCovariantDerivative}\left(\mathrm{D\_x}\,\mathrm{\phi }\,\mathrm{\Γ2}\right)$

$0\mathrm{D\_z1}$

$\mathrm{DirectionalCovariantDerivative}\left(\mathrm{D\_y}\,\mathrm{\phi }\,\mathrm{\Γ2}\right)$

$\frac{1}{y^2}\mathrm{D\_z2}$

$\mathrm{DirectionalCovariantDerivative}\left(\mathrm{D\_z}\,\mathrm{\phi }\,\mathrm{\Γ2}\right)$

$0\mathrm{D\_z1}$

$\mathrm{DirectionalCovariantDerivative}\left(y\mathrm{D\_t}\,\mathrm{\phi }\,\mathrm{\Γ2}\right)$

$\left(-x+2ty\right)\mathrm{D\_z1}+xy{t}^2\mathrm{D\_z2}$

$\mathrm{\Γ1}≔\mathrm{Christoffel}\left(g\right)$

$\mathrm{\Γ1}≔\frac{2}{x}\mathrm{D\_t}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+\frac{2}{x}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dt}+2x^3\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dt}$

$\mathrm{CovariantDerivative}\left(\mathrm{\sigma }\,\mathrm{\Γ1}\,\mathrm{\Γ2}\right)$

$0\mathrm{dt}\mathrm{D\_z1}\mathrm{D\_z1}\mathrm{dt}$

$\mathrm{Eps}≔\mathrm{EpsilonSpinor}\left(''cov''\,''spinor''\right)$

$\mathrm{Eps}≔\mathrm{dz1}\mathrm{dz2}-\mathrm{dz2}\mathrm{dz1}$

$\mathrm{CovariantDerivative}\left(\mathrm{Eps}\,\mathrm{\Γ2}\right)$

$0\mathrm{dz1}\mathrm{dz1}\mathrm{dt}$

$F≔\mathrm{CurvatureTensor}\left(\mathrm{\Γ2}\right)$

$F≔-\mathrm{D\_z1}\mathrm{dz2}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_z1}\mathrm{dz2}\mathrm{dx}\mathrm{dt}-\mathrm{D\_z2}\mathrm{dz1}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_z2}\mathrm{dz1}\mathrm{dx}\mathrm{dt}-\mathrm{D\_w1}\mathrm{dw2}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_w1}\mathrm{dw2}\mathrm{dx}\mathrm{dt}-\mathrm{D\_w2}\mathrm{dw1}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_w2}\mathrm{dw1}\mathrm{dx}\mathrm{dt}$

$R≔\mathrm{CurvatureTensor}\left(\mathrm{\Γ1}\right)$

$R≔-\frac{2}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+\frac{2}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dt}-2x^2\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+2x^2\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dx}\mathrm{dt}$

$\mathrm{barF}≔\mathrm{ConjugateSpinor}\left(F\right)$

$\mathrm{barF}≔-\mathrm{D\_z1}\mathrm{dz2}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_z1}\mathrm{dz2}\mathrm{dx}\mathrm{dt}-\mathrm{D\_z2}\mathrm{dz1}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_z2}\mathrm{dz1}\mathrm{dx}\mathrm{dt}-\mathrm{D\_w1}\mathrm{dw2}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_w1}\mathrm{dw2}\mathrm{dx}\mathrm{dt}-\mathrm{D\_w2}\mathrm{dw1}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_w2}\mathrm{dw1}\mathrm{dx}\mathrm{dt}$

$S≔\mathrm{BivectorSolderForm}\left(\mathrm{\sigma }\,''spinor''\,\mathrm{indextype}=\left[''con''\,''cov''\,''cov''\,''con''\right]\right)$

$S≔\frac{1}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dz1}\mathrm{D\_z2}+\frac{1}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dz2}\mathrm{D\_z1}+\frac{\mathrm{I}}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dy}\mathrm{dz1}\mathrm{D\_z2}-\frac{\mathrm{I}}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dy}\mathrm{dz2}\mathrm{D\_z1}+\frac{1}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dz}\mathrm{dz1}\mathrm{D\_z1}-\frac{1}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dz}\mathrm{dz2}\mathrm{D\_z2}+x^2\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dz1}\mathrm{D\_z2}+x^2\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dz2}\mathrm{D\_z1}-\mathrm{I}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dz1}\mathrm{D\_z1}+\mathrm{I}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dz2}\mathrm{D\_z2}-\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dz1}\mathrm{D\_z2}+\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dz2}\mathrm{D\_z1}+\mathrm{I}{x}^2\mathrm{D\_y}\mathrm{dt}\mathrm{dz1}\mathrm{D\_z2}-\mathrm{I}{x}^2\mathrm{D\_y}\mathrm{dt}\mathrm{dz2}\mathrm{D\_z1}+\mathrm{I}\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\mathrm{dz1}\mathrm{D\_z1}-\mathrm{I}\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\mathrm{dz2}\mathrm{D\_z2}-\mathrm{I}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dz1}\mathrm{D\_z2}-\mathrm{I}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dz2}\mathrm{D\_z1}+x^2\mathrm{D\_z}\mathrm{dt}\mathrm{dz1}\mathrm{D\_z1}-x^2\mathrm{D\_z}\mathrm{dt}\mathrm{dz2}\mathrm{D\_z2}+\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dz1}\mathrm{D\_z2}-\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dz2}\mathrm{D\_z1}+\mathrm{I}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dz1}\mathrm{D\_z2}+\mathrm{I}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dz2}\mathrm{D\_z1}$

$\mathrm{barS}≔\mathrm{BivectorSolderForm}\left(\mathrm{\sigma }\,''barspinor''\,\mathrm{indextype}=\left[''con''\,''cov''\,''cov''\,''con''\right]\right)$

$\mathrm{barS}≔\frac{1}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dw1}\mathrm{D\_w2}+\frac{1}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dw2}\mathrm{D\_w1}-\frac{\mathrm{I}}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dy}\mathrm{dw1}\mathrm{D\_w2}+\frac{\mathrm{I}}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dy}\mathrm{dw2}\mathrm{D\_w1}+\frac{1}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dz}\mathrm{dw1}\mathrm{D\_w1}-\frac{1}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dz}\mathrm{dw2}\mathrm{D\_w2}+x^2\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dw1}\mathrm{D\_w2}+x^2\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dw2}\mathrm{D\_w1}+\mathrm{I}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dw1}\mathrm{D\_w1}-\mathrm{I}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dw2}\mathrm{D\_w2}-\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dw1}\mathrm{D\_w2}+\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dw2}\mathrm{D\_w1}-\mathrm{I}{x}^2\mathrm{D\_y}\mathrm{dt}\mathrm{dw1}\mathrm{D\_w2}+\mathrm{I}{x}^2\mathrm{D\_y}\mathrm{dt}\mathrm{dw2}\mathrm{D\_w1}-\mathrm{I}\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\mathrm{dw1}\mathrm{D\_w1}+\mathrm{I}\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\mathrm{dw2}\mathrm{D\_w2}+\mathrm{I}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dw1}\mathrm{D\_w2}+\mathrm{I}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dw2}\mathrm{D\_w1}+x^2\mathrm{D\_z}\mathrm{dt}\mathrm{dw1}\mathrm{D\_w1}-x^2\mathrm{D\_z}\mathrm{dt}\mathrm{dw2}\mathrm{D\_w2}+\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dw1}\mathrm{D\_w2}-\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dw2}\mathrm{D\_w1}-\mathrm{I}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dw1}\mathrm{D\_w2}-\mathrm{I}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dw2}\mathrm{D\_w1}$

$\mathrm{R1}≔\mathrm{ContractIndices}\left(S\,F\,\left[\left[3\,1\right]\,\left[4\,2\right]\right]\right)$

$\mathrm{R1}≔-\frac{2}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+\frac{2}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dt}-2x^2\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+2x^2\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dx}\mathrm{dt}+2\mathrm{I}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dt}\mathrm{dx}-2\mathrm{I}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dt}-2\mathrm{I}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+2\mathrm{I}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dt}$

$\mathrm{R2}≔\mathrm{ContractIndices}\left(\mathrm{barS}\,\mathrm{barF}\,\left[\left[3\,1\right]\,\left[4\,2\right]\right]\right)$

$\mathrm{R2}≔-\frac{2}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+\frac{2}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dt}-2x^2\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+2x^2\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dx}\mathrm{dt}-2\mathrm{I}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+2\mathrm{I}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dt}+2\mathrm{I}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dt}\mathrm{dx}-2\mathrm{I}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dt}$

$\mathrm{LHS}≔2\&multR$

$\mathrm{LHS}≔-\frac{4}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+\frac{4}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dt}-4x^2\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+4x^2\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dx}\mathrm{dt}$

$\mathrm{RHS}≔\mathrm{R1}\&plus\mathrm{R2}$

$\mathrm{RHS}≔-\frac{4}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+\frac{4}{x^2}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dt}-4x^2\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dt}\mathrm{dx}+4x^2\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dx}\mathrm{dt}$

$\mathrm{LHS}\&minus\mathrm{RHS}$

$0\mathrm{D\_t}\mathrm{dt}\mathrm{dt}\mathrm{dt}$