Let $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$ be a Lie algebra. The codifferential $\partial$of monomial bi-vectors and tri-vectors on $\mathrm{\𝔤}$ is defined by

Let $$$\mathrm{\ρ}\: \mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\to }\mathrm{gl}\left(V\right)$be a representation of $\mathrm{\𝔤}$ on a vector space $V\.$ For $x\mathit{ }\in \mathit{ }\mathrm{\𝔤}$ and $w \in V$, write $\mathrm{\ρ}\left(x\right)\left(w\right) \= x \cdot w\.$ For multi-vectors with coefficients in $V$, the above formulas for the codifferential are amended to

The command Codifferential computes the codifferential of a multi-vector $Z$. Note that if $Z$has degree $p$, then $\partial \left(Z\right)$has degree $p-1.$

The co-differential satisfies ${\partial }^2 \=0$It commutes with the Lie derivative Z and satisfies, for any vector $X$, ${\mathrm{\𝒵}}_X\left(Z\right) \= X \wedge \partial \left(Z\right) \+ \partial \left(X \wedge Z\right) \.$

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{LD1}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\left[\left[\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\right]=\mathrm{x1}\,\left[\mathrm{x2}\,\mathrm{x5}\right]=\mathrm{x3}\,\left[\mathrm{x4}\,\mathrm{x5}\right]=\mathrm{x4}\right]\,\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\,\mathrm{x4}\,\mathrm{x5}\right]\,\mathrm{alg}\right)$

$\mathrm{LD1}:=\left[\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD1}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; alg}$

$Z≔\mathrm{evalDG}\left(a\mathrm{e2}\&w\mathrm{e3}+b\mathrm{e2}\&w\mathrm{e5}+c\mathrm{e2}\&w\mathrm{e4}\right)$

$Z:=a\mathrm{e2}\bigwedge \mathrm{e3}\+c\mathrm{e2}\bigwedge \mathrm{e4}\+b\mathrm{e2}\bigwedge \mathrm{e5}$

$\mathrm{Codifferential}\left(Z\right)$

$a\mathrm{e1}\+b\mathrm{e3}$

$Z≔\mathrm{evalDG}\left(a\left(\mathrm{e2}\&w\mathrm{e3}\right)\&w\mathrm{e4}+b\left(\mathrm{e3}\&w\mathrm{e4}\right)\&w\mathrm{e5}\right)$

$Z:=a\mathrm{e2}\bigwedge \mathrm{e3}\bigwedge \mathrm{e4}\+b\mathrm{e3}\bigwedge \mathrm{e4}\bigwedge \mathrm{e5}$

$W≔\mathrm{Codifferential}\left(Z\right)$

$W:=a\mathrm{e1}\bigwedge \mathrm{e4}-b\mathrm{e3}\bigwedge \mathrm{e4}$

$\mathrm{Codifferential}\left(W\right)$

$0\mathrm{e1}$

$\mathrm{LD2}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''so(4)''\,\mathrm{so4}\right)$

$\mathrm{LD2}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD2}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; so4}$

$A≔\mathrm{StandardRepresentation}\left(\mathrm{so4}\right)$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{w1}\,\mathrm{w2}\,\mathrm{w3}\,\mathrm{w4}\right]\,V\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; V}$

$\mathrm{\rho }≔\mathrm{Representation}\left(\mathrm{so4}\,V\,A\right)$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{so4}\,\mathrm{\rho }\,\mathrm{so4V}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra\; with\; coefficients:\; so4V}$

$Z≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{w1}\mathrm{e1}\&w\mathrm{e2}\right)$

$Z:=\mathrm{w1}\mathrm{e1}\bigwedge \mathrm{e2}$

$\mathrm{Codifferential}\left(Z\right)$

$-\mathrm{w3}\mathrm{e1}\+\mathrm{w2}\mathrm{e2}\+\mathrm{w1}\mathrm{e4}$

$Z≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{w4}\left(\left(\mathrm{e1}\&w\mathrm{e2}\right)\&w\mathrm{e5}\right)\&w\mathrm{e6}\right)$

$Z:=\mathrm{w4}\mathrm{e1}\bigwedge \mathrm{e2}\bigwedge \mathrm{e5}\bigwedge \mathrm{e6}$

$W≔\mathrm{Codifferential}\left(Z\right)$

$W:=\mathrm{w4}\mathrm{e1}\bigwedge \mathrm{e2}\bigwedge \mathrm{e4}\+\mathrm{w3}\mathrm{e1}\bigwedge \mathrm{e2}\bigwedge \mathrm{e5}-\mathrm{w2}\mathrm{e1}\bigwedge \mathrm{e2}\bigwedge \mathrm{e6}-\mathrm{w4}\mathrm{e1}\bigwedge \mathrm{e3}\bigwedge \mathrm{e5}-\mathrm{w4}\mathrm{e2}\bigwedge \mathrm{e3}\bigwedge \mathrm{e6}\+\mathrm{w4}\mathrm{e4}\bigwedge \mathrm{e5}\bigwedge \mathrm{e6}$

$\mathrm{Codifferential}\left(W\right)$

$0\mathrm{e1}\bigwedge \mathrm{e2}$