Let g be a semi-simple Lie algebra and h a Cartan subalgebra.  Let $\left\{h_1\, h_2\, ..\. \, h_{m }\right\}$be a basis for$\mathit{ }\mathrm{\𝔥}\mathit{ }\mathit{\.}\mathit{ }$The linear transformations $\mathrm{ad}\left(h_i\right)$are simultaneously diagonalizable over C -- if  $x \in$g is a common eigenvector for all these transformations, then $\mathrm{ad}\left(h_i\right)\left(x\right) \= \left[h_i \, x\right] \= {\mathrm{\α}}_{i } x$. The $m$-tuples ${\mathrm{\α}}_{} \= \left[{\mathrm{\α}}_1\, {\mathrm{\α}}_2\, ..\. \, {\mathrm{\α}}_m\right]$ ∈ ${\mathrm{\ℂ}}^m$ are called the roots Δ of $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$ with respect to the Cartan subalgebra $\mathrm{\𝔥}$. The eigenspace decomposition$\mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\=}\mathit{ }\mathrm{\𝔥}\mathit{ }\mathit{ }{\oplus }_{\mathrm{\α} \in \mathrm{\Δ} } R_{\mathrm{\α} }$ is called the root space decomposition of g with respect to h.  

For each root $\mathrm{\α}$and corresponding root space $x$, this query checks that $\left[h_i \, x\right] \= {\mathrm{\α}}_{i } x$.  It also checks that the span of the Cartan subalgebra and the root spaces is the full Lie algebra $𝔤$ .

With output = "root", this query will return the root $\mathrm{\α}$ if the equations $\left[h_i \, x\right] \= {\mathrm{\α}}_{i } x$fail.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''LieAlgebra''\,\mathrm{alg}\,\left[10\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,3\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,3\,2\right]\,-2\right]\,\left[\left[1\,3\,4\right]\,2\right]\,\left[\left[1\,4\,3\right]\,-1\right]\,\left[\left[1\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,6\,5\right]\,-2\right]\,\left[\left[1\,6\,7\right]\,2\right]\,\left[\left[1\,7\,6\right]\,-1\right]\,\left[\left[1\,8\,9\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,9\,8\right]\,-2\right]\,\left[\left[1\,9\,10\right]\,2\right]\,\left[\left[1\,10\,9\right]\,-1\right]\,\left[\left[2\,3\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,5\,8\right]\,2\right]\,\left[\left[2\,6\,9\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,8\,5\right]\,-2\right]\,\left[\left[2\,9\,6\right]\,-1\right]\,\left[\left[3\,4\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,5\,9\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,6\,8\right]\,2\right]\,\left[\left[3\,6\,10\right]\,2\right]\,\left[\left[3\,7\,9\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,8\,6\right]\,-1\right]\,\left[\left[3\,9\,5\right]\,-2\right]\,\left[\left[3\,9\,7\right]\,-2\right]\,\left[\left[3\,10\,6\right]\,-1\right]\,\left[\left[4\,6\,9\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,7\,10\right]\,2\right]\,\left[\left[4\,9\,6\right]\,-1\right]\,\left[\left[4\,10\,7\right]\,-2\right]\,\left[\left[5\,6\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[5\,8\,2\right]\,2\right]\,\left[\left[5\,9\,3\right]\,1\right]\,\left[\left[6\,7\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[6\,8\,3\right]\,1\right]\,\left[\left[6\,9\,2\right]\,2\right]\,\left[\left[6\,9\,4\right]\,2\right]\,\left[\left[6\,10\,3\right]\,1\right]\,\left[\left[7\,9\,3\right]\,1\right]\,\left[\left[7\,10\,4\right]\,2\right]\,\left[\left[8\,9\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[9\,10\,1\right]\,1\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=2\mathrm{e4}-2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{e7}-2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e9}\right]\=2\mathrm{e10}-2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=-2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{e10}\+2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e9}\right]\=-2\mathrm{e7}-2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=2\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e10}\right]\=-2\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]\=2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e9}\right]\=2\mathrm{e4}\+2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e10}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; alg}$

$\mathrm{CSA}≔\mathrm{evalDG}\left(\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}+\mathrm{e10}\right]\right)$

$\mathrm{CSA}:=\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\+\mathrm{e10}\right]$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{CSA}\,''CartanSubalgebra''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{RSD}≔\mathrm{map}\left(\mathrm{evalDG}\,\mathrm{table}\left(\left[\left[2\mathrm{I}\,0\right]=\mathrm{e8}-\mathrm{I}\mathrm{e9}-\mathrm{e10}\,\left[2\mathrm{I}\,2\mathrm{I}\right]=\mathrm{e2}-\mathrm{I}\mathrm{e3}-\mathrm{e4}-\mathrm{I}\mathrm{e5}-\mathrm{e6}+\mathrm{I}\mathrm{e7}\,\left[-2\mathrm{I}\,2\mathrm{I}\right]=\mathrm{e2}+\mathrm{I}\mathrm{e3}-\mathrm{e4}-\mathrm{I}\mathrm{e5}+\mathrm{e6}+\mathrm{I}\mathrm{e7}\,\left[0\,2\mathrm{I}\right]=\mathrm{e2}+\mathrm{e4}-\mathrm{I}\mathrm{e5}-\mathrm{I}\mathrm{e7}\,\left[-2\mathrm{I}\,0\right]=\mathrm{e8}+\mathrm{I}\mathrm{e9}-\mathrm{e10}\,\left[2\mathrm{I}\,-2\mathrm{I}\right]=\mathrm{e2}-\mathrm{I}\mathrm{e3}-\mathrm{e4}+\mathrm{I}\mathrm{e5}+\mathrm{e6}-\mathrm{I}\mathrm{e7}\,\left[0\,-2\mathrm{I}\right]=\mathrm{e2}+\mathrm{e4}+\mathrm{I}\mathrm{e5}+\mathrm{I}\mathrm{e7}\,\left[-2\mathrm{I}\,-2\mathrm{I}\right]=\mathrm{e2}+\mathrm{I}\mathrm{e3}-\mathrm{e4}+\mathrm{I}\mathrm{e5}-\mathrm{e6}-\mathrm{I}\mathrm{e7}\right]\right)\right)$

$\mathrm{RSD}:=\mathrm{table}\left(\left[\left[0\,2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{e4}-\mathrm{I}\mathrm{e5}-\mathrm{I}\mathrm{e7}\,\left[-2\mathrm{I}\,2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{I}\mathrm{e3}-\mathrm{e4}-\mathrm{I}\mathrm{e5}\+\mathrm{e6}\+\mathrm{I}\mathrm{e7}\,\left[2\mathrm{I}\,2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{e2}-\mathrm{I}\mathrm{e3}-\mathrm{e4}-\mathrm{I}\mathrm{e5}-\mathrm{e6}\+\mathrm{I}\mathrm{e7}\,\left[2\mathrm{I}\,0\right]\=\mathrm{e8}-\mathrm{I}\mathrm{e9}-\mathrm{e10}\,\left[-2\mathrm{I}\,-2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{I}\mathrm{e3}-\mathrm{e4}\+\mathrm{I}\mathrm{e5}-\mathrm{e6}-\mathrm{I}\mathrm{e7}\,\left[2\mathrm{I}\,-2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{e2}-\mathrm{I}\mathrm{e3}-\mathrm{e4}\+\mathrm{I}\mathrm{e5}\+\mathrm{e6}-\mathrm{I}\mathrm{e7}\,\left[-2\mathrm{I}\,0\right]\=\mathrm{e8}\+\mathrm{I}\mathrm{e9}-\mathrm{e10}\,\left[0\,-2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{e4}\+\mathrm{I}\mathrm{e5}\+\mathrm{I}\mathrm{e7}\right]\right)$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{CSA}\,\mathrm{RSD}\,''RootSpaceDecomposition''\right)$

$\mathrm{true}$