Let ${\mathrm{\ρ}}_1\: \mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\to }\mathit{ }\mathrm{gl}\left(V_1\right)$, ${\mathrm{\ρ}}_2\: \mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\to }\mathit{ }\mathrm{gl}\left(V_2\right)\,$... be a list of representations of a Lie algebra$\mathit{ }\mathrm{\𝔤}$. Let $$$W \= V_{1 }\otimes V_2\otimes \cdot \cdot \cdot$be the tensor product of the vector spaces $V_1\, V_2\, ..\. \.$The tensor product of the representations ${\mathrm{\ρ}}_1\, {\mathrm{\ρ}}_2\, ..\.$is the representation $\mathrm{\ρ}\: \mathrm{\𝔤} \to \mathrm{gl}\(W$$\)$defined by

Let $\mathrm{\ρ}\: \mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\to } \mathrm{gl}\left(V\right)$be a representation. Then $\mathrm{\ρ}$determines a representation $\mathrm{\τ}\mathit{ }$of $\mathrm{\𝔤}$ on $T_s^r\left(V\right)$, the space of type $\left(r\, s\right)$ tensors on $V\.$The representation $\mathrm{\τ}$, in turn, the restricts to any $\mathrm{\τ}$-invariant subspace, spanned by a list T of  $p$type $\left(r\,s\right)$tensors. The second calling sequence returns this $p-$dimensional representation of $\mathrm{\ρ}$.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\right]\,\mathrm{V1}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{y1}\,\mathrm{y2}\,\mathrm{y2}\right]\,\mathrm{V2}\right)\:$

$\mathrm{M1}≔\left[\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,1\right]\,\left[0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[1\,0\right]\,\left[0\,-1\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,0\right]\,\left[1\,0\right]\right]\right)\right]$

$L≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\mathrm{M1}\,\mathrm{sl2}\right)$

$L:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=-2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-2\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(L\right)\:$

$\mathrm{\ρ1}≔\mathrm{Representation}\left(\mathrm{sl2}\,\mathrm{V1}\,\mathrm{M1}\right)$

$\mathrm{\ρ2}≔\mathrm{Representation}\left(\mathrm{sl2}\,\mathrm{V2}\,\mathrm{Adjoint}\left(\right)\right)$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{z1}\,\mathrm{z2}\,\mathrm{z3}\,\mathrm{z4}\,\mathrm{z5}\,\mathrm{z6}\right]\,\mathrm{W1}\right)\:$

$\mathrm{\φ1}≔\mathrm{TensorProductOfRepresentations}\left(\left[\mathrm{\ρ1}\,\mathrm{\ρ2}\right]\,\mathrm{W1}\right)$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{\φ1}\,''Representation''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{ChangeFrame}\left(\mathrm{V1}\right)\:$

$\mathrm{T1}≔\mathrm{Tensor}:-\mathrm{GenerateSymmetricTensors}\left(\left[\mathrm{D\_x1}\,\mathrm{D\_x2}\right]\,3\right)$

$\mathrm{T1}:=\left[\mathrm{D\_x1}\mathrm{D\_x1}\mathrm{D\_x1}\,\frac{1}{3}\mathrm{D\_x1}\mathrm{D\_x1}\mathrm{D\_x2}\+\frac{1}{3}\mathrm{D\_x1}\mathrm{D\_x2}\mathrm{D\_x1}\+\frac{1}{3}\mathrm{D\_x2}\mathrm{D\_x1}\mathrm{D\_x1}\,\frac{1}{3}\mathrm{D\_x1}\mathrm{D\_x2}\mathrm{D\_x2}\+\frac{1}{3}\mathrm{D\_x2}\mathrm{D\_x1}\mathrm{D\_x2}\+\frac{1}{3}\mathrm{D\_x2}\mathrm{D\_x2}\mathrm{D\_x1}\,\mathrm{D\_x2}\mathrm{D\_x2}\mathrm{D\_x2}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{z1}\,\mathrm{z2}\,\mathrm{z3}\,\mathrm{z4}\right]\,\mathrm{W2}\right)\:$

$\mathrm{\φ2}≔\mathrm{TensorProductOfRepresentations}\left(\mathrm{\ρ1}\,\mathrm{T1}\,\mathrm{W2}\right)$

$\mathrm{ChangeFrame}\left(\mathrm{W2}\right)\:$

$\mathrm{T3}≔\mathrm{Tools}:-\mathrm{GenerateForms}\left(\left[\mathrm{dz1}\,\mathrm{dz2}\,\mathrm{dz3}\,\mathrm{dz4}\right]\,2\right)$

$\mathrm{T3}:=\left[\mathrm{dz1}\bigwedge \mathrm{dz2}\,\mathrm{dz1}\bigwedge \mathrm{dz3}\,\mathrm{dz1}\bigwedge \mathrm{dz4}\,\mathrm{dz2}\bigwedge \mathrm{dz3}\,\mathrm{dz2}\bigwedge \mathrm{dz4}\,\mathrm{dz3}\bigwedge \mathrm{dz4}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{p1}\,\mathrm{p2}\,\mathrm{p3}\,\mathrm{p4}\,\mathrm{p5}\,\mathrm{p6}\right]\,\mathrm{W3}\right)\:$

$\mathrm{\φ3}≔\mathrm{TensorProductOfRepresentations}\left(\mathrm{\φ2}\,\mathrm{T3}\,\mathrm{W3}\right)$

$\mathrm{Invariants}\left(\mathrm{\φ3}\right)$

$\left[-3\mathrm{D\_p3}\+\mathrm{D\_p4}\right]$