Eigenvectors(A) コマンドは、最初の要素を A の固有値からなるベクトル V、2 番目の要素を列が A の固有ベクトルである行列 E である式列を返すことによって単純な固有値問題を解きます。E の i 番目の列は返されたベクトル V の i 番目の固有値に対応する  です。

単純な固有値問題において、A が実対称または複素エルミート行列ならば、返される固有値は実数です。

Eigenvectors(..) 関数は単純な固有値問題 A . x = lambda . x と一般化固有値問題 A . x = lambda . C . x を解きます。 固有値 V[i] と零でない固有ベクトル E[1 .. -1, i] は単純な固有値問題に対して A . E[1 .. -1, i] = V[i] . E[1 .. -1, i]、一般化固有値問題に対して A . E[1 .. -1, i] = V[i] . C . E[1 .. -1, i] となるようなものです。

Eigenvectors(A, C) コマンドは一般化固有値問題を解きます。

一般化固有値問題において、A と C が実対称または複素エルミート行列で C が属性 positive_definite (正定値) を持つならば、返される固有値は実数です。

 k > 1 の多重根の固有値では線形独立な固有ベクトルが k より少ないかもしれません。この場合行列は defective (欠落) と呼ばれます。設計により戻される行列は常にフル列次元を持ちます。従って defective の場合では、いくつかの列はゼロで戻されます。そのためこれらは固有ベクトルではありません。output=list,オプションにより固有ベクトルのみが戻されます。更なる情報は LinearAlgebra[JordanForm] および LinearAlgebra[SchurForm]を参照ください。

A の固有ベクトルが返されるフォーマットはパラメータ o によって決定されます。デフォルトでは、式列は上に述べられたように返されます。 output が list として指定されている場合には、 リストのリストが返されます。それぞれの部分リストの最初の要素は固有値で、2番目の要素はその重複度、そして3番目の要素はその固有値に対応する1次独立な固有ベクトルの集合です。

outopts オプションは結果を作成する Matrix または Vector コンストラクタに付加情報 (readonly, shape, storage, order, datatype, attributes) を与えます。

outopts が outputoptions[values] = list として指定されているとき、list の要素は固有値の結果を構築するときに Vector コンストラクタに渡されます。 outopts が outputoptions[vectors] = list として指定されると、list の要素は固有ベクトルの結果を構築するときに Matrix コンストラクタに渡されます。

この関数は LinearAlgebra パッケージの一部ですから、コマンド with(LinearAlgebra) を実行した後にのみ Eigenvectors(..) の形で使うことができます。ただし、長い形の名前 LinearAlgebra[Eigenvectors](..) を使えばいつでもアクセスすることができます。

with(LinearAlgebra):
A := <<-1,-3,-6>|<3,5,6>|<-3,-3,-4>>;

(v, e) := Eigenvectors(A);

A . e[1..-1,2] = v[2] . e[1..-1,2];

B := <<1,2,3>|<2,4,6>|<5,10,15>>;

Eigenvectors(B, output='list');

M := Matrix([[6.,8.,5.],[8.,8.,9.],[5.,9.,6.]], datatype = float):
N := Matrix([[6.,3.,3.],[3.,8.,8.],[3.,8.,9.]], datatype = float):
Eigenvectors(M,N,output=['vectors', 'values']);