Solving ODEs That Do Not Contain Either the Dependent or Independent Variable

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Description

•	The general form of an nth order ODE that is missing the dependent variable is:

>	missing_y_ode := F(x,'seq(diff(y(x),x$i),i=1..n)');

missing_y_ode := F(x, seq(diff(y(x), `$`(x, i)), i = 1 .. n))

(1)

where F is an arbitrary function of its arguments. The order can be reduced by introducing a new variable p(x) = diff(y(x),x). If the reduced ODE can be solved for p(x), the solution to the original ODE is determined as a quadrature.

•	The general form of an nth order ODE that is missing the independent variable is:

>	missing_x_ode := F(y(x),'seq(diff(y(x),x$i),i=1..n)');

missing_x_ode := F(y(x), seq(diff(y(x), `$`(x, i)), i = 1 .. n))

(2)

where F is an arbitrary function of its arguments. The transformation

yields a reduction of order. If the reduced ODE can be solved for p(y), the solution to the original ODE can be given implicitly as

>	x = Int(1/p(y),y) + _C1;

(3)

See Murphy, "Ordinary Differential Equations and their Solutions", 1960, sections B2(1,2), and C2(1,2).

Examples

(4)

_2nd_order_missing_x_ode := diff(y(x), x, x) = (ln(y(x))+1)*(diff(y(x), x))

_2nd_order_missing_x_ode := diff(y(x), `$`(x, 2)) = (ln(y(x))+1)*(diff(y(x), x))

(5)

(6)

sol[x2] := y(x) = _C1, Int(1/(_a*ln(_a)+_C1), _a = `` .. y(x))-x-_C2 = 0

(7)

Explicit and implicit answers can be tested, in principle, using odetest:

(8)

_2nd_order_missing_y_ode := diff(y(x), x, x) = F(x)*(diff(y(x), x))^3

_2nd_order_missing_y_ode := diff(y(x), `$`(x, 2)) = F(x)*(diff(y(x), x))^3

(9)

(10)

sol[y2] := y(x) = Int(1/(-2*(Int(F(x), x))+_C1)^(1/2), x)+_C2, y(x) = Int(-1/(-2*(Int(F(x), x))+_C1)^(1/2), x)+_C2

(11)

In the case of multiple answers it is convenient to "map" odetest as follows:

(12)

The most general third order ODE missing x. This ODE cannot be solved to the end: its solution involves the solving of the most general second order ODE. However, its differential order can be reduced (see ?dsolve,ODESolStruc):

_3rd_order_missing_x_ode := diff(y(x), x, x, x) = F(y(x), diff(y(x), x), diff(y(x), x, x))

_3rd_order_missing_x_ode := diff(y(x), `$`(x, 3)) = F(y(x), diff(y(x), x), diff(y(x), `$`(x, 2)))

(13)

$sol[x3] := y(x) = `&where`(_a, [{(diff(_b(_a), `$`(_a, 2)))*_b(_a)^2+(diff(_b(_a), _a))^2*_b(_a)-F(_a, _b(_a), (diff(_b(_a), _a))*_b(_a)) = 0}, {_a = y(x), _b(_a) = diff(y(x), x)}, {x = Int(1/_b(_a), _a)+_C1, y(x) = _a}])$

(14)

(15)

(16)

The most general third order ODE missing y.

_3rd_order_missing_y_ode := diff(y(x), x, x, x) = F(x, diff(y(x), x), diff(y(x), x, x))

_3rd_order_missing_y_ode := diff(y(x), `$`(x, 3)) = F(x, diff(y(x), x), diff(y(x), `$`(x, 2)))

(17)

(18)

$sol[y3] := y(x) = `&where`(Int(_b(_a), _a)+_C1, [{diff(_b(_a), `$`(_a, 2)) = F(_a, _b(_a), diff(_b(_a), _a))}, {_a = x, _b(_a) = diff(y(x), x)}, {x = _a, y(x) = Int(_b(_a), _a)+_C1}])$

(19)

(20)

	See Also
	DEtools, odeadvisor, dsolve, and ?odeadvisor,<TYPE> where <TYPE> is one of: quadrature, missing, reducible, linear_ODEs, exact_linear, exact_nonlinear; for other differential orders see odeadvisor,types.