RootFinding[Parametric] パッケージは多項式および不等式のパラメトリックシステム向けに設計されています。このパッケージはパラメトリック多項式システム 

を構造解析し、実数解を持つパラメータ値やシステムにおける解の数を得るためのプログラムが含まれています。式で、f および g は不定元 (変数) およびパラメータと呼ばれる 2 種類の変数の多項式を表します。

パラメータ空間  を  および  の 2 つに分割することを趣旨としています。ここで  は無限の解数、無限遠での解や重複度が 1 より大きい解など入力システムの解を非一般的なものにするパラメータ値を含む空間を指します。

そのような集合  を discriminant variety と呼び、1 変数多項式のよく知られた判別式の一般化を指します。

一方で補集合  は一般にセルと呼ばれる関連した開集合の有限和で、入力システムの実数解の数が有限かつ同一セルではパラメータ値を変更してもその数は一定であるという重要な特性を持っています。これにより、システムの実数解の数を基にしたパラメータ空間の完全な分類ができます。

このパッケージに含まれているコマンドは、円筒代数分解 (Cylindrical Algebraic Decomposition; CAD) の各結果セルにおいてシステムの解の数が一定であるという主要特性を保つようにして、CAD でセル  をさらに分割します。CAD 結果の最大次元の各オープンセル (open cell) に対しては、完全にセル内部に位置するサンプル点が計算されます。

入力システムは以下の要件を満たすものとします。

方程式の数は変数の数と同じである。

ほとんどの複素パラメータ値に対して最低でも 1 つ、最大でも有限数の複素解が存在する (すなわち、システムは一般的に可解で、一般的に 0 次元である)。 

ほとんどの複素パラメータ値に対して解の重複度は 1 を上回らない (すなわち、システムは一般的に根基である)。具体的には、入力方程式に平方因子は含まれていない。

RootFinding[Parametric] パッケージの各コマンドは long form (長形式) または short form (短形式) のいずれかのフォーマットでコマンド名を指定することによりアクセスできます。RootFinding[Parametric] パッケージはモジュールとして実装されているため、RootFinding[Parametric]:-command の形式を使用してもパッケージのコマンドにアクセスできます。

使用可能なコマンドの一覧を以下に示します。

CellDecomposition - 与えられたシステムの解数が各セルで有限かつ一定であるようにパラメータ空間を最大次元のオープンセルに分解します。

CellDescription - いくつかの境界多項式の実数根を基にオープンセルを記述します。

CellLocation - 与えられたパラメータ空間の点が存在しているオープンセルを割り出します。

CellPlot - 1 つまたは複数のオープンセルをプロットします。

CellsWithSolutions - 与えられた数の実数解を持つすべてのセルを取得します。

DiscriminantVariety - パラメトリック多項式システムの discriminant variety を計算します。

NumberOfSolutions - 各オープンセルの実数解の数を計算します。

SampleSolutions - 与えられたパラメータ値の代入して得た非パラメトリックシステムのすべての実数解を求めます。

特定の RootFinding[Parametric] コマンドのヘルプを表示する方法については、Getting Help with a Command in a Package を参照してください。

RootFinding[Parametric] パッケージのコマンドの多くはパラメトリック多項式システムの構造情報を含む解レコードを出力するか、解レコードを入力として受け付けます。これは以下のフィールドを持つ record (レコード) です。

Equations: システムの方程式を表す多項式    のリスト

Inequalities: 形式のシステムの不等式を表す多項式  のリスト

Variables: 名前のリスト; 変数

Parameters: 名前のリスト; パラメータ

DiscriminantVariety: パラメータの多項式のリストリスト; discriminant variety は各多項式の内部リストの判別式の和になります。

ProjectionPolynomials: CAD (円筒代数分解) の意味での射影多項式を表すパラメータの多項式のリストリスト

SamplePoints: parameter=rational number の形式の方程式のリストリスト。リストリストは CAD の各オープンセルに対して 1 つ存在し、各リストは完全にセルの内部に位置するサンプル点を表します。

解レコード   のフィールドは、たとえば m:-Equations, m:-Inequalities のように、選択演算子 (:-) を使用することでアクセスできます。

解レコードのフィールドは変更可能ですが、これは推奨されません。

 が  の最小根未満、すなわち、

 が  の最小実数根より大きい、すなわち、