with(DifferentialAlgebra):

この例は学生および教員向けの偏微分方程式(PDE)系の特徴を取り上げたものです。まず、RosenfeldGroebner を使用して regular differential chain を作成します。

R := DifferentialRing(derivations = [x, y], blocks = [[v, u]]);

ideal := RosenfeldGroebner([u[x]^2-4*u, u[x,y]*v[y]-u+1, v[x,x]-u[x]], R);

このイデアルは素ではりません。

Is(prime, ideal);

この微分イデアルを示す等式は次のようになります。

Equations(ideal[1], solved);

次に、 から [u, v] への従属変数のランクの変更が実行されます。第 1 ステップで計算された イデアル(ideal) は 素(prime) ではないため、オプション assumeisprime  を入れる必要があります。

ideal_reranked := ChangeRanking(ideal[1], blocks = [u, v], assume);

元のイデアルとは異なり、このランクを変更したイデアルは素です。

Is(prime, ideal_reranked);

このランクを変更した微分を表す等式は次のようになります。

Equations(ideal_reranked, solved);

最後に、逆方向のランクの変更を実行し、返された regular differential chain が ideal のものと同一であることを確認します。

ideal_reranked_back := ChangeRanking(ideal_reranked, R);

Equations(ideal[1], solved) - Equations(ideal_reranked_back, solved);

この例は偏微分方程式(PDE)系の特徴を取り上げ、一部の対象ランクに関して与えられた系  によって生成された微分イデアルの累乗の表現を計算するための、優れた方法を説明しています。 

この方法を使用すると、通常、計算が簡単になり、 regular differential chain は少なくなります。多くの微分多項式系では実際に素の微分イデアルを定義するため、この方法が頻繁に適用されます。この方法には 2 つのステップが含まれます。

第 1 のステップは、目的のものとは別に、 がほぼ正則な微分鎖(可能であれば、ランクの最高次の階数の次数が  である微分鎖)であるような、簡単なランクを検索します (試行錯誤が必要な場合があります)。

第 2 のステップは、第 1 ステップで計算された regular differential chain のうち 目的のランクに関する regular differential chain に対して ChangeRanking を実行します。 

この方法はここで二次元の非圧縮性流体のオイラー方程式に適用されます。この系で生成される微分イデアルの累乗  は素であり、微分の次元がゼロであることを証明していきます。

定義により  が素であることを証明するには、 最高次の階数の次数が である単一の regular differential chain   によって  が表されることを示せば十分です。

 の微分の次元がゼロであることを証明するには、orderly(次数に従った)ランクに関して  を計算し、各従属変数に  の最高次の導関数内の導関数があるかを確認すれば十分です[K73, chapter II, section 12, Theorem 6]。

目的のランクは orderly ですが、直接的な計算を完了することはできません。

p1 := v1[t]+v1*v1[x]+v2*v1[y]+p[x]:

p2 := v2[t]+v1*v2[x]+v2*v2[y]+p[y]:

p3 := v1[x]+v2[y]:

target_ranking := derivations=[x, y, t], blocks = [[v1, v2, p]];

R := DifferentialRing(target_ranking):

ideal := RosenfeldGroebner([p1, p2, p3], R);

しかし、簡単なランキングがあり、それは場合分けしないRosenfeldGroebner アルゴリズムに関連しています。この簡単なランキングは従属変数に関して orderly ではなく、elimination ランクです (lex というキーワードを使用します) 。また、 独立変数の順序付けは  から  に変化しますが、この二段階方法の目的に役立ちます。まず、第 1 ステップを実行します。

easy_ranking := derivations = [t, x, y], blocks = [lex[p, v1, v2]];

S := DifferentialRing(easy_ranking):

ideal := RosenfeldGroebner([p1, p2, p3], S);

次に、第 2 ステップを実行します。元のランク  を使用して  を見直します。出力は  が素であり、微分の次元がゼロであることを証明します。

ideal := ChangeRanking(ideal[1], R);

Tools:-LeadingRank(ideal);

この例は、パラメトリック力学系の学習に役立つ ChangeRanking を示しています。実際に、状態変数のいずれかの orderly ランクに関して、力学系は regular differential chain であり、微分素イデアルを記述します。

ここで、ChangeRanking を使用して力学系のいわゆる入出力関係を計算します。この関係は 制御理論において、グローバルでの同定可能性を調査し、測定値から未知のパラメータの推定を簡単化するために使用されます。

まず、2 つの常微分方程式 (ODE) のパラメトリック力学系を定義します。2 つの状態変数  と  は 1 つのブロックにグループ化されます。こうすることで、導関数  と  のランクが確実に orderly になります。この系のパラメータは不定(arbitrary)とみなされます。

params := [k[e], V[e], k[1,2], k[2,1]];

R := DifferentialRing(derivations = [t], blocks = [[x[1], x[2]]], arbitrary = params);

edoA := diff(x[1](t),t) = -k[1,2]*x[1](t) + k[2,1]*x[2](t) - (V[e]*x[1](t))/(k[e]+x[1](t));

edoB := diff(x[2](t),t) = k[1,2]*x[1](t) - k[2,1]*x[2](t);

この RosenfeldGroebner の呼び出しは、 regular differential chain 内の 2 つの ODE をまとめるためのものです。パラメータは、微分環に入る際に不定(arbitrary)であると申告されたため、分割のケースは作成しません。

ideal := RosenfeldGroebner([edoA, edoB], R);

正則の微分鎖 の最高次の階数の次数は  です。従って、微分イデアルは素となります。

Tools:-LeadingRank(ideal[1]);

そのため、 を消去することによって入出力関係 が取得されます。この作業は、ChangeRanking を使用して、 から  へと、 ideal に対する従属変数のランクを変更することにより達成されます。入出力関係は  IOideal の微分多項式であり、IOideal の最高次の導関数は  の導関数です。ChangeRanking に対しては、変更する情報部分のみを渡す必要があり、最初の引数に埋め込まれた元の微分環の情報を再入力する必要はないことに注意してください。イデアルは次のように書き直します。

IOideal := ChangeRanking(ideal[1], blocks = [x[2], x[1]]);

IOrel := Equations(IOideal, leader=derivative(x[1](t)), notation=jet)[1];