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dsolve/formal_solution - find formal solutions to a homogeneous linear ODE with polynomial coefficients

	Calling Sequence
	dsolve(ODE, y(x), 'formal_solution', 'coeffs'=coeff_type, 'point'=x0) dsolve(ODE, y(x), 'type=formal_solution', 'coeffs'=coeff_type, 'point'=x0)

Parameters

ODE	-	homogeneous linear ordinary differential equation with polynomial coefficients
y(x)	-	dependent variable (the indeterminate function)
'type=formal_solution'	-	(optional) request for formal solutions
'coeffs'=coeff_type	-	(optional) coeff_type is one of 'mhypergeom', 'dAlembertian'
'point'=x0	-	algebraic number, rational in parameters, or infinity

Description

•

When the input ODE is a homogeneous linear ode with polynomial coefficients, and the optional arguments 'formal_solution' (or 'type=formal_solution') and 'coeffs'=coeff_type are given, the dsolve command returns a set of formal solutions with the specified coefficients at the given point (the default is at the origin). For more information, see Slode[mhypergeom_formal_sol] and Slode[dAlembertian_formal_sol].

Examples

Find the formal solution set with m-hypergeometric series coefficients.

ode := (x^2+1)*x*(diff(y(x), x, x, x))+(3*(2*x^2+1))*(diff(y(x), x, x))-12*y(x)

ode := (x^2+1)*x*(diff(y(x), `$`(x, 3)))+3*(2*x^2+1)*(diff(y(x), `$`(x, 2)))-12*y(x)

(1)

y(x) = ((x+2*x^3)*_C1+(1/2)*_C2*(Sum(GAMMA(_n-3/2)*(-1)^_n*x^(2*_n)/GAMMA(_n), _n = 1 .. infinity))/Pi^(1/2))/x

(2)

Find the formal solution set with d'Alembertian series coefficient.

ode := (-4-x^2+2*x)*y(x)+(2*x-3*x^3-x^2)*(diff(y(x), x))+(x^3-x^4)*(diff(y(x), x, x))

ode := (-4-x^2+2*x)*y(x)+(2*x-3*x^3-x^2)*(diff(y(x), x))+(x^3-x^4)*(diff(y(x), `$`(x, 2)))

(3)

y(x) = x^2*(-(1/2)*(Sum(x^_n, _n = 0 .. infinity))+Sum((Sum((-1/2)^_n1*(Product((_k+3)^2/(_k+2), _k = 0 .. _n1-1)), _n1 = 0 .. _n-1))*x^_n, _n = 0 .. infinity))*_C1+exp(2/x)*(Sum(x^_n, _n = 0 .. infinity)-1/3)*_C2/x