多項式係数を持つ斉次線形常微分方程式の形式的べき級数解を求める

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dsolve - 多項式係数を持つ斉次線形常微分方程式の形式的べき級数解を求める

使い方

dsolve(ODE, y(x), 'formal_series', 'coeffs'=coeff_type)

dsolve(ODE, y(x), 'type=formal_series', 'coeffs'=coeff_type)

パラメータ

ODE - 多項式係数を持つ斉次線形常微分方程式

y(x) - 従変数 ( 不定関数 )

'type=formal_series' - 形式的べき級数解の要求

'coeffs'=coeff_type - coeff_type は 'polynomial', 'rational', 'hypergeom', 'mhypergeom' のいずれかを選択することができます。

説明

•	入力された常微分方程式が多項式係数の斉次線形常微分方程式であり、オプションが 'formal_series' ( もしくは 'type=formal_series' ) かつ 'coeffs'=coeff_type として与えられた場合、dsolve は指定された全ての展開候補点での形式的べき級数解を返すことになります。詳細は Slode をご参照ください。

例

多項式係数の形式的べき級数解

>	ode := (3x^2-6x+3)diff(diff(y(x),x),x) + (12x-12)diff(y(x),x)+6y(x);

ode := (3*x^2-6*x+3)*(diff(y(x), `$`(x, 2)))+(12*x-12)*(diff(y(x), x))+6*y(x)

(2.1)

>	dsolve(ode,y(x),'formal_series','coeffs'='polynomial');

y(x) = Sum((_C1+_n1*_C2)*x^_n1, _n1 = 0 .. infinity)

(2.2)

有理係数の形式的べき級数解

>	ode := (3-x)*diff(diff(y(x),x),x)-diff(y(x),x);

ode := (3-x)*(diff(y(x), `$`(x, 2)))-(diff(y(x), x))

(2.3)

>	dsolve(ode,y(x),'formal_series','coeffs'='rational');

y(x) = _C2+_C1*(Sum((x-2)^_n1/_n1, _n1 = 1 .. infinity))

(2.4)

超幾何係数の形式的べき級数解

>	ode := 2x(x-1)diff(diff(y(x),x),x)+(7x-3)diff(y(x),x)+2y(x) = 0;

ode := 2*x*(x-1)*(diff(y(x), `$`(x, 2)))+(7*x-3)*(diff(y(x), x))+2*y(x) = 0

(2.5)

>	dsolve(ode,y(x),'type=formal_series','coeffs'='hypergeom');

y(x) = _C1*(Sum(GAMMA(_n1+1/2)*(x+1)^_n1/factorial(_n1), _n1 = 0 .. infinity)), y(x) = _C1*(Sum((_n1+1)*x^_n1/(2*_n1+1), _n1 = 0 .. infinity)), y(x) = _C1*(Sum((-1)^_n1*GAMMA(_n1+1/2)*(x-1)^_n1/GAMMA(_n1+1), _n1 = 0 .. infinity))

(2.6)

形式的 m スパース m 超幾何べき級数解

>	ode := diff(y(x),x,x)+(x-1)*y(x);

ode := diff(y(x), `$`(x, 2))+(x-1)*y(x)

(2.7)

>	dsolve(ode,y(x),'type=formal_series','coeffs'='mhypergeom');

y(x) = _C1*(Sum((-1/9)^_n1*(x-1)^(3*_n1+1)/(GAMMA(_n1+1)*GAMMA(_n1+4/3)), _n1 = 0 .. infinity)), y(x) = _C1*(Sum((-1/9)^_n1*(x-1)^(3*_n1)/(GAMMA(_n1+2/3)*GAMMA(_n1+1)), _n1 = 0 .. infinity))