calculate the symmetric power of a differential equation or operator

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DEtools[symmetric_power] - calculate the symmetric power of a differential equation or operator

	Calling Sequence
	symmetric_power(L, m, domain) symmetric_power(eqn, m, dvar)

Parameters

L	-	differential operator
m	-	positive integer
domain	-	list containing two names
eqn	-	homogeneous linear differential equation
dvar	-	dependent variable

Description

•	The input L is a differential operator. The output of this procedure is a linear differential operator M of minimal order such that for every set of m solutions of L the product is a solution of .

•	The argument domain describes the differential algebra. If this argument is the list , then the differential operators are notated with the symbols and . They are viewed as elements of the differential algebra where is the field of constants.

•	If the argument domain is omitted then the differential specified by the environment variable _Envdiffopdomain is used. If this environment variable is not set then the argument domain may not be omitted.

•	Instead of a differential operator, the input can also be a linear homogeneous differential equation having rational function coefficients. In this case the third argument must be the dependent variable.

•	This function is part of the DEtools package, and so it can be used in the form symmetric_power(..) only after executing the command with(DEtools). However, it can always be accessed through the long form of the command by using DEtools[symmetric_power](..).

Examples

(1)

(2)

To illustrate formally the meaning of the output of this command, consider a general second order ODE

ODE := diff(y(x), x, x)+a(x)*y(x) = 0

ODE := diff(y(x), `$`(x, 2))+a(x)*y(x) = 0

(3)

The nth symmetric_power of ODE is another ODE having for a solution the nth power of the solution of ODE. For example, the solution of ODE can be written - formally - using the Maple DESol command; dsolve represents it that way:

$sol := y(x) = DESol({a(x)*_Y(x)+diff(_Y(x), `$`(x, 2))}, {_Y(x)})$

(4)

where in the above DESol(...) represents any linear combination of two independent solutions of ODE. The first symmetric power of ODE is then ODE itself (has for solution sol^1) and, for instance, for the second and third symmetric powers of ODE we have