construct a minimal Z-pair

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SumTools[Hypergeometric][ExtendedZeilberger] - construct a minimal Z-pair

	Calling Sequence
	ExtendedZeilberger(V, n, k, En)

Parameters

V	-	definite sum of hypergeometric term
n	-	name
k	-	name
En	-	name denoting the shift operator with respect to n

Description

•	Let be a hypergeometric term of m and k. Let where b and d are integers. The ExtendedZeilberger(V, n, k, En) command, an extension to Zeilberger's algorithm, constructs the minimal Z-pair for provided that it exists.

•	It can be shown that a Z-pair for exists if and only if a Z-pair for the hypergeometric term exists.

Examples

T := (-1)^k*binomial(m, k)*binomial(2*k, k)/2^(2*k)

(1)

V := Sum(T, m = 0 .. n)

V := Sum((-1)^k*binomial(m, k)*binomial(2*k, k)/2^(2*k), m = 0 .. n)

(2)

[2*n+3+(2*n+4)*En^2+(-7-4*n)*En, 2*k^2*(-1)^k*binomial(n+1, k)*binomial(2*k, k)/((-n-2+k)*2^(2*k))]

(3)

(4)

Sum(V, k = 0 .. n) = DefiniteSum(V, n, k, 0 .. n)

Sum(Sum((-1)^k*binomial(m, k)*binomial(2*k, k)/2^(2*k), m = 0 .. n), k = 0 .. n) = 2*GAMMA(n+3/2)/(Pi^(1/2)*GAMMA(n+1))

(5)

Try the Maple command sum:

sum(sum(T, m = 0 .. n), k = 0 .. n)

(1/2)*(4*n+6+2*(-1)^n)*GAMMA(n+3/2)/((n+1)*(n+2)*Pi^(1/2)*GAMMA(n))+(1/2)*(4*n+6+2*(-1)^n)*GAMMA(n+3/2)/(Pi^(1/2)*GAMMA(n+3))+(n+1)*(-(-1)^n+1)*GAMMA(n+3/2)/(Pi^(1/2)*GAMMA(n+3))+sum(k*(-1)^k*(PIECEWISE([1, k = 0], [sin(Pi*k)/(Pi*k), otherwise]))*binomial(2*k, k)/((k+1)*2^(2*k)), k = 0 .. n)

(6)

	See Also
	sum, SumTools[Hypergeometric][DefiniteSum], SumTools[Hypergeometric][IsZApplicable], SumTools[Hypergeometric][Zeilberger], SumTools[Hypergeometric][ZeilbergerRecurrence]

References

Le, H.Q. "Computing the Minimal Telescoper for Sums of Hypergeometric Terms." SIGSAM Bulletin: Communications on Computer Algebra. Vol. 35 No. 3. (2001): 2-10.