Introduction to GMP - Maple Help

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Introduction to GMP

Maple uses the GMP library to perform arbitrary-precision integer arithmetic. For more information about GMP, see ?gmp.

Arbitrary-precision integer arithmetic involves working with numbers that are too large to fit into hardware integers. In Maple, the greatest number that can be represented by hardware integer is given by

>	kernelopts(maximmediate);

(1)

Integers greater than the above are represented by software integers. Arithmetic for software integers requires special algorithms for large integer arithmetic. To illustrate exact arbitrary-precision integer arithmetic in Maple, consider the following examples.

Basic Integer Arithmetic

>	133!/2^31 + 141^41;

6925643915732790384946627966972556011134669767252667946977921895027177206466475387284570431649485529262010621410775946996419339625678451697092071645327788798391886636201011896058568576028156266004571607362761713517741

(1.1)

>	p := nextprime(%); # Find the smallest prime greater than the previous number

p := 6925643915732790384946627966972556011134669767252667946977921895027177206466475387284570431649485529262010621410775946996419339625678451697092071645327788798391886636201011896058568576028156266004571607362761713518651

(1.2)

>	isprime(p);

(1.3)

>	igcd(p, 2p); # Greatest common divisor of p and 2p is p

(1.4)

Fermat's Little Theorem

Fermat's Little Theorem states "If p is prime and a is an integer, then a^p = a (mod p)"

Consider this Mersenne prime (that is, prime of the form 2^n-1), which is more than 600 digits long.

>	p := 2^2281-1:

>	isprime(p);

(2.1)

Let a be a random integer between 2 and p-1.

>	a := rand(2..p-1)():

Verify the correctness of Fermat's Little Theorem.

>	evalb(a &^p mod p = a);

(2.2)

A Very Large Summation

This example demonstrates the improvement of Maple 9 with arbitrary-precision integer arithmetic with GMP. Maple 9 computes this summation 25 times faster than Maple 8 (tested on a Pentium 4 1.5 GHz)